ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора............................. 11

Введение ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Область рациональных чисел

1. Предварительные замечания ..................... 13

2. Упорядочение области рациональных чисел............. 14

3. Сложение и вычитание рациональных чисел............. 15

4. Умножение и деление рациональных чисел............. 17

5. Аксиома Архимеда........................... 19

§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел

6. Определение иррационального числа................. 20

7. Упорядочение области вещественных чисел............. 23

8. Вспомогательные предложения.................... 24

9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью................................. 25

10. Непрерывность области вещественных чисел............ 28

11. Границы числовых множеств..................... 30

§ 3. Арифметические действия над вещественными числами

12. Определение суммы вещественных чисел.............. 33

13. Свойства сложения .......................... 34

14. Определение произведения вещественных чисел.......... 36

15. Свойства умножения.......................... 38

16. Заключение............................... 40

17. Абсолютные величины......................... 40

§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел

18. Существование корня. Степень с рациональным показателем ... 41

19. Степень с любым вещественным показателем............ 43

20. Логарифмы............................... 46

21. Измерение отрезков.......................... 47

Глава первая ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Варианта и ее предел

22. Переменная величина, варианта ................... 50

23. Предел варианты............................ 54

24. Бесконечно малые величины..................... 55

25. Примеры................................ 57

26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел ......... 61

27. Бесконечно большие величины.................... 63

§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов

28. Предельный переход в равенстве и неравенстве........... 65

29. Леммы о бесконечно малых...................... 67

30. Арифметические операции над переменными............ 68

31. Неопределенные выражения ..................... 70

32. Примеры на нахождение пределов.................. 73

33. Теорема Штольца и ее применения.................. 78

§ 3. Монотонная варианта

34. Предел монотонной варианты..................... 81

35. Примеры................................ 83

36. Число е................................. 88

37. Приближенное вычисление числа е ................. 90

38. Лемма о вложенных промежутках.................. 94

§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы

39. Принцип сходимости ......................... 96

40. Частичные последовательности и частичные пределы ....... 99

41. Лемма Больцано - Вейерштрасса................... 101

42. Наибольший и наименьший пределы................. 103

Глава вторая ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Понятие функции

43. Переменная и область ее изменения................. 107

44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры ... 108

45. Определение понятия функции.................... 110

46. Аналитический способ задания функции............... 113

47. График функции............................ 116

48. Важнейшие классы функций ..................... 118

49. Понятие обратной функции...................... 124

50. Обратные тригонометрические функции............... 126

51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания........ 131

§ 2. Предел функции

52. Определение предела функции.................... 132

53. Сведение к случаю варианты..................... 134

54. Примеры................................ 137

55. Распространение теории пределов.................. 145

56. Примеры................................ 148

57. Предел монотонной функции..................... 151

58. Общий признак Больцано-Коши................... 152

59. Наибольший и наименьший пределы функции............ 154

§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин

60. Сравнение бесконечно малых..................... 154

61. Шкала бесконечно малых....................... 156

62. Эквивалентные бесконечно малые.................. 157

63. Выделение главной части....................... 159

64. Задачи.................................. 161

65. Классификация бесконечно больших................. 163

§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций

66. Определение непрерывности функции в точке ........... 164

67. Арифметические операции над непрерывными функциями..... 167

68. Примеры непрерывных функций................... 167

69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов..... 169

70. Примеры различных функций..................... 171

71. Непрерывность и разрывы монотонной функции.......... 173

72. Непрерывность элементарных функций............... 174

73. Суперпозиция непрерывных функций................ 175

74. Решение одного функционального уравнения............ 176

75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической

и степенной функций......................... 178

76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов.......................... 180

77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 182

78. Степенно-показательные выражения................. 185

79. Примеры................................ 186

§ 5. Свойства непрерывных функций

80. Теорема об обращении функции в нуль............... 188

81. Применение к решению уравнений.................. 190

82. Теорема о промежуточном значении................. 191

83. Существование обратной функции.................. 193

84. Теорема об ограниченности функции................. 195

85. Наибольшее и наименьшее значения функции............ 196

86. Понятие равномерной непрерывности................ 199

87. Теорема Кантора............................ 201

88. Лемма Бореля............................. 202

89. Новые доказательства основных теорем............... 204

Глава третья ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1. Производная и ее вычисление

90. Задача о вычислении скорости движущейся точки......... 208

91. Задача о проведении касательной к кривой............. 209

92. Определение производной....................... 212

93. Примеры вычисления производных.................. 216

94. Производная обратной функции ................... 219

95. Сводка формул для производных................... 221

96. Формула для приращения функции.................. 222

97. Простейшие правила вычисления производных........... 223

98. Производная сложной функции.................... 226

99. Примеры................................ 227

100. Односторонние производные..................... 234

101. Бесконечные производные....................... 235

102. Дальнейшие примеры особых случаев................ 236

§ 2. Дифференциал

103. Определение дифференциала..................... 237

104. Связь между дифференцируемостью и существованием  производной.................... 238

105. Основные формулы и правила дифференцирования......... 241

106. Инвариантность формы дифференциала............... 242

107. Дифференциалы как источник приближенных формул....... 245

108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей...... 247

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления

109. Теорема Ферма............................. 249

110. Теорема Дарбу............................. 251

111. Теорема Ролля............................. 252

112. Формула Лагранжа........................... 253

113. Предел производной.......................... 256

114. Формула Коши............................. 257

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков

115. Определение производных высших порядков............ 259

116. Общие формулы для производных любого порядка......... 261

117. Формула Лейбница........................... 265

118. Примеры................................ 267

119. Дифференциалы высших порядков.................. 270

120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.......... 271

121. Параметрическое дифференцирование................ 273

122. Конечные разности........................... 274

§ 5. Формула Тейлора

123. Формула Тейлора для многочлена.................. 276

124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано.................................. 278

125. Примеры................................ 282

126. Другие формы дополнительного члена................ 286

127. Приближенные формулы....................... 289

§ 6. Интерполирование

128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа .... 295

129. Дополнительный член формулы Лагранжа.............. 297

130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита..... 298

Глава четвертая

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ

ПРОИЗВОДНЫХ

§ 1. Изучение хода изменения функции

131. Условие постоянства функции.................... 301

132. Условие монотонности функции................... 303

133. Доказательство неравенств...................... 306

134. Максимумы и минимумы; необходимые условия.......... 310

135. Достаточные условия. Первое правило................ 312

136. Примеры................................ 314

137. Второе правило ............................ 318

138. Использование высших производных................. 320

139. Разыскание наибольших и наименьших значений.......... 323

140. Задачи.................................. 324

§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции

141. Определение выпуклой (вогнутой) функции............. 329

142. Простейшие предложения о выпуклых функциях.......... 330

143. Условия выпуклости функции..................... 333

144. Неравенство Иенсена и его приложения............... 336

145. Точки перегиба............................. 338

§ 3. Построение графиков функций

146. Постановка задачи........................... 341

147. Схема построения графика. Примеры................ 342

148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты . . . 344

149. Примеры................................ 348

§ 4. Раскрытие неопределенностей

150. Неопределенность вида 0//0....................... 351

151. Неопределенность вида ∞/∞...................... 357

152. Другие виды неопределенностей................... 359

§ 5. Приближенное решение уравнений

153. Вводные замечания .......................... 361

154. Правило пропорциональных частей (метод хорд).......... 362

155. Правило Ньютона (метод касательных)............... 366

156. Примеры и упражнения........................ 368

157. Комбинированный метод ....................... 373

158. Примеры и упражнения........................ 374

Глава пятая ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Основные понятия

159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры . . . 378

160. Функции двух переменных и области их определения....... 379

161. Арифметическое n-мерное пространство............... 383

162. Примеры областей в n-мерном пространстве............ 387

163. Общее определение открытой и замкнутой области ........ 389

164. Функции n переменных........................ 392

165. Предел функции нескольких переменных.............. 395

166. Сведение к случаю варианты..................... 397

167. Примеры................................ 399

168. Повторные пределы.......................... 401

§ 2. Непрерывные функции

169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных . . . 404

170. Операции над непрерывными функциями.............. 406

171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано - Коши . . . 407

172. Лемма Больцано - Вейерштрасса................... 409

173. Теоремы Вейерштрасса........................ 412

174. Равномерная непрерывность ..................... 413

175. Лемма Бореля............................. 415

176. Новые доказательства основных теорем............... 417

§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

177. Частные производные и частные дифференциалы.......... 419

178. Полное приращение функции..................... 422

179. Полный дифференциал ........................ 426

180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных............................... 428

181. Производные от сложных функций.................. 432

182. Примеры................................ 434

183. Формула конечных приращений ................... 436

184. Производная по заданному направлению .............. 438

185. Инвариантность формы (первого) дифференциала......... 441

186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.....................443

187. Однородные функции......................... 446

188. Формула Эйлера............................ 448

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков

189. Производные высших порядков.................... 449

190. Теорема о смешанных производных................. 452

191. Обобщение............................... 456

192. Производные высших порядков от сложной функции........ 458

193. Дифференциалы высших порядков.................. 459

194. Дифференциалы сложных функций.................. 464

195. Формула Тейлора ........................... 465

§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения

196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия................... 468

197. Достаточные условия (случай функции двух переменных)..... 470

198. Достаточные условия (общий случай)................ 475

199. Условия отсутствия экстремума ................... 478

200. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры...... 480

201. Задачи.................................. 484

Глава шестая ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Формальные свойства функциональных определителей

202. Определение функциональных определителей (якобианов) .... 494

203. Умножение якобианов......................... 495

204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби) ....... 497

§ 2. Неявные функции

205. Понятие неявной функции от одной переменной.......... 500

206. Существование неявной функции................... 502

207. Дифференцируемость неявной функции............... 505

208. Неявные функции от нескольких переменных............ 507

209. Вычисление производных неявных функций............. 515

210. Примеры................................ 519

§ 3. Некоторые приложения теории неявных функций

211. Относительные экстремумы...................... 524

212. Метод неопределенных множителей Лагранжа........... 527

213. Достаточные для относительного экстремума условия....... 529

214. Примеры и задачи........................... 530

215. Понятие независимости функций................... 535

216. Ранг матрицы Якоби.......................... 537

§ 4. Замена переменных

217. Функции одной переменной...................... 542

218. Примеры................................ 544

219. Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных............................... 547

220. Метод вычисления дифференциалов................. 549

221. Общий случай замены переменных.................. 550

222. Примеры................................ 553

Глава седьмая

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

К ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей

223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах)....... 563

224. Примеры................................ 566

225. Кривые механического происхождения................ 569

226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры .... 572

227. Поверхности и кривые в пространстве................ 578

228. Параметрическое представление................... 580

229. Примеры................................ 582

§ 2. Касательная и касательная плоскость

230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах ... 586

231. Примеры................................ 588

232. Касательная в полярных координатах................ 590

233. Примеры................................ 591

234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость

к поверхности............................. 593

235. Примеры................................ 598

236. Особые точки плоских кривых.................... 599

237. Случай параметрического задания кривой.............. 605

§ 3. Касание кривых между собой

238. Огибающая семейства кривых .................... 607

239. Примеры................................ 611

240. Характеристические точки...................... 614

241. Порядок касания двух кривых .................... 616

242. Случай неявного задания одной из кривых ............. 619

243. Соприкасающаяся кривая....................... 620

244. Другой подход к соприкасающимся кривым............. 623

§ 4. Длина плоской кривой

245. Леммы ................................. 624

246. Направление на кривой........................ 625

247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги.............. 627

248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги .... 629

249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной 633

§ 5. Кривизна плоской кривой

250. Понятие кривизны........................... 637

251. Круг кривизны и радиус кривизны.................. 640

252. Примеры................................ 642

253. Координаты центра кривизны..................... 646

254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты..... 648

255. Свойства эволют и эвольвент..................... 651

256. Разыскивание эвольвент........................ 654

Дополнение ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ

257. Случай функции одной переменной ................. 657

258. Постановка задачи для двумерного случая.............. 659

259. Вспомогательные предложения.................... 661

260. Основная теорема о распространении................ 665

261. Обобщение............................... 666

262. Заключительные замечания...................... 668

Алфавитный указатель.............................. 671