ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава пятнадцатая
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 1. Криволинейные интегралы первого типа
543. Определение криволинейного интеграла первого типа....... 11
544. Сведение к обыкновенному определенному интегралу....... 14
545. Примеры................................ 16
§ 2. Криволинейные интегралы второго типа
546. Определение криволинейных интегралов второго типа....... 21
547. Существование и вычисление криволинейного интеграла
второго типа.............................. 23
548. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости........ 27
549. Примеры................................ 29
550. Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной..... 33
551. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов . . 35
552. Примеры................................ 39
553. Связь между криволинейными интегралами обоих типов ..... 42
554. Физические задачи........................... 44
§ 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути
555. Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале . . 50
556. Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути ...... 52
557. Вычисление криволинейного интеграла через первообразную ... 54
558. Признак точного дифференциала и нахождение первообразной
в случае прямоугольной области................... 56
559. Обобщение на случай произвольной области............ 58
560. Окончательные результаты...................... 62
561. Интегралы по замкнутому контуру.................. 62
562. Случай неодносвязной области или наличия особых точек..... 65
563. Интеграл Гаусса............................ 70
564. Трехмерный случай.......................... 73
565. Примеры................................ 76
566. Приложение к физическим задачам ................. 80
§ 4. Функции с ограниченным изменением
567. Определение функции с ограниченным изменением ........ 83
568. Классы функций с ограниченным изменением............ 86
569. Свойства функций с ограниченным изменением........... 89
570. Критерии для функций с ограниченным изменением........ 92
571. Непрерывные функции с ограниченным изменением........ 94
572. Спрямляемые кривые......................... 97
§ 5. Интеграл Стилтьеса
573. Определение интеграла Стилтьеса.................. 99
574. Общие условия существования интеграла Стилтьеса........ 101
575. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса........ 102
576. Свойства интеграла Стилтьеса.................... 106
577. Интегрирование по частям...................... 108
578. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана....... 109
579. Вычисление интегралов Стилтьеса.................. 112
580. Примеры................................ 116
581. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса......... 123
582. Теорема о среднем, оценки...................... 124
583. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса....... 126
584. Примеры и дополнения........................ 128
585. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса....................... 133
Глава шестнадцатая
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла
586. Задача об объеме цилиндрического бруса.............. 136
587. Сведение двойного интеграла к повторному............. 138
588. Определение двойного интеграла................... 140
589. Условия существования двойного интеграла............. 142
590. Классы интегрируемых функций................... 144
591. Нижний и верхний интегралы как пределы............. 146
592. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов..... 147
593. Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование по области............... 151
§ 2. Вычисление двойного интеграла
594. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области........... 154
595. Примеры................................ 158
596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области............ 168
597. Примеры................................ 172
598. Механические приложения...................... 186
599. Примеры................................ 188
§ 3. Формула Грина
600. Вывод формулы Грина......................... 196
601. Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов.................... 200
602. Примеры и дополнения........................ 202
§ 4. Замена переменных в двойном интеграле
603. Преобразование плоских областей.................. 205
604. Примеры................................ 208
605. Выражение площади в криволинейных координатах........ 213
606. Дополнительные замечания...................... 216
607. Геометрический вывод......................... 218
608. Примеры................................ 220
609. Замена переменных в двойных интегралах ............. 230
610. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной области................... 232
611. Примеры................................ 234
§ 5. Несобственные двойные интегралы
612. Интегралы, распространенные на неограниченную область .... 241
613. Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла................. 244
614. Приведение двойного интеграла к повторному........... 247
615. Интегралы от неограниченных функций............... 249
616. Замена переменных в несобственных интегралах.......... 252
617. Примеры................................ 254
Глава семнадцатая
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двусторонние поверхности
618. Сторона поверхности......................... 271
619. Примеры................................ 273
620. Ориентация поверхностей и пространства.............. 275
621. Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали . 278
622. Случай кусочно-гладкой поверхности ................ 280
§ 2. Площадь кривой поверхности
623. Пример Шварца............................ 281
624. Определение площади кривой поверхности............. 284
625. Замечание................................ 285
626. Существование площади поверхности и ее вычисление ...... 287
627. Подход через вписанные многогранные поверхности........ 292
628. Особые случаи определения площади................ 294
629. Примеры................................ 295
§ 3. Поверхностные интегралы первого типа
630. Определение поверхностного интеграла первого типа....... 310
631. Сведение к обыкновенному двойному интегралу.......... 310
632. Механические приложения поверхностных интегралов первого типа.............................. 313
633. Примеры................................ 315
§ 4. Поверхностные интегралы второго типа
634. Определение поверхностного интеграла второго типа....... 322
635. Простейшие частные случаи..................... 325
636. Общий случай............................. 328
637. Деталь доказательства......................... 330
638. Выражение объема тела поверхностным интегралом........ 331
639. Формула Стокса............................ 336
640. Примеры................................ 339
641. Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве...................... 345
Глава восемнадцатая
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Тройной интеграл и его вычисление
642. Задача о вычислении массы тела................... 348
643. Тройной интеграл и условия его существования .......... 349
644. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов..... 351
645. Вычисление тройного интеграла, распространенного
на параллелепипед........................... 353
646. Вычисление тройного интеграла по любой области......... 355
647. Несобственные тройные интегралы ................. 357
648. Примеры................................ 357
649. Механические приложения...................... 366
650. Примеры................................ 367
§ 2. Формула Гаусса-Остроградского
651. Формула Остроградского....................... 376
652. Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов...................... 379
653. Интеграл Гаусса............................ 380
654. Примеры................................ 382
§ 3. Замена переменных в тройных интегралах
655. Преобразование пространств и криволинейные координаты .... 387
656. Примеры................................ 389
657. Выражение объема в криволинейных координатах......... 391
658. Дополнительные замечания...................... 394
659. Геометрический вывод......................... 395
660. Примеры................................ 397
661. Замена переменных в тройных интегралах ............. 406
662. Примеры................................ 407
663. Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку . 412
§ 4. Элементы векторного анализа
664. Скаляры и векторы .......................... 415
665. Скалярное и векторное поля..................... 416
666. Градиент................................ 417
667. Поток вектора через поверхность .................. 419
668. Формула Остроградского. Дивергенция............... 420
669. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь............ 422
670. Специальные поля........................... 424
671. Обратная задача векторного анализа................. 428
672. Приложения.............................. 429
§ 5. Многократные интегралы
673. Задача о притяжении и потенциале двух тел ............ 435
674. Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл............. 438
675. Замена переменных в n-кратном интеграле............. 440
676. Примеры................................ 444
Глава девятнадцатая
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. Введение
677. Периодические величины и гармонический анализ......... 466
678. Определение коэффициента по методу Эйлера-Фурье....... 469
679. Ортогональные системы функций .................. 472
680. Тригонометрическое интерполирование............... 477
§ 2. Разложение функций в ряд Фурье
681. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле............... 480
682. Первая основная лемма........................ 483
683. Принцип локализации......................... 485
684. Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье........ 486
685. Вторая основная лемма........................ 490
686. Признак Дирихле-Жордана...................... 492
687. Случай непериодической функции.................. 494
688. Случай произвольного промежутка.................. 495
689. Разложение только по косинусам или только по синусам ..... 497
690. Примеры................................ 500
691. Разложение lnГ(x)........................... 514
§ 3. Дополнения
692. Ряды с убывающими коэффициентами................ 517
693. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексной переменной ......... 524
694. Примеры................................ 527
695. Комплексная форма рядов Фурье................... 531
696. Сопряженный ряд........................... 535
697. Кратные ряды Фурье.......................... 538
§ 4. Характер сходимости рядов Фурье
698. Некоторые дополнения к основным леммам............. 540
699. Признаки равномерной сходимости рядов Фурье.......... 543
700. Проведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай . . 547
701. Случай произвольной функции.................... 552
702. Особенности рядов Фурье; предварительные замечания...... 554
703. Построение особенностей....................... 557
§ 5. Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции
704. Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных . 559
705. Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции..... 561
706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-й производной......... 562
707. Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным изменением............................... 565
708. Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье......................... 567
709. Случай функции, заданной в промежутке [0, π]........... 572
710. Метод выделения особенностей ................... 574
§ 6. Интеграл Фурье
711. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье........ 582
712. Предварительные замечания ..................... 584
713. Достаточные признаки......................... 586
714. Видоизменение основного предположения.............. 588
715. Различные виды формулы Фурье................... 590
716. Преобразование Фурье ........................ 593
717. Некоторые свойства преобразований Фурье............. 596
718. Примеры и дополнения........................ 598
719. Случай функции двух переменных.................. 605
§ 7. Приложения
720. Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию................ 607
721. Задача о колебании струны...................... 609
722. Задача о распространении тепла в конечном стержне ....... 614
723. Случай бесконечного стержня .................... 618
724. Видоизменение предельных условий................. 620
725. Распространение тепла в круглой пластине............. 621
726. Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати ординат......................... 623
727. Примеры................................ 626
728. Схема для двадцати четырех ординат ................ 630
729. Примеры................................ 631
730. Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов Фурье..................... 633
Глава двадцатая РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение)
§ 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и замкнутость
731. Почленное интегрирование ряда Фурье............... 635
732. Почленное дифференцирование ряда Фурье............. 638
733. Полнота тригонометрической системы................ 639
734. Равномерная аппроксимация функций. Теоремы Вейерштрасса . . 641
735. Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье... 644
736. Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова . . 648
737. Обобщенное уравнение замкнутости................. 652
738. Умножение рядов Фурье ....................... 655
739. Некоторые приложения уравнения замкнутости........... 656
§ 2. Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье
740. Основная лемма............................ 662
741. Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона-Абеля...... 665
742. Решение задачи Дирихле для круга.................. 669
743. Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро-Фейера ...... 671
744. Некоторые приложения обобщенного суммирования рядов Фурье....... 673
745. Почленное дифференцирование рядов Фурье............ 676
§ 3. Единственность тригонометрического разложения функции
746. Вспомогательные предложения об обобщенных производных . . . 678
747. Риманов метод суммирования тригонометрических рядов..... 682
748. Лемма о коэффициентах сходящегося ряда............. 686
749. Единственность тригонометрического разложения......... 687
750. Заключительные теоремы о рядах Фурье .............. 690
751. Обобщение............................... 693
Дополнение
ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ
752. Различные виды пределов, встречающиеся в анализе........ 698
753. Упорядоченные множества (в собственном смысле)........ 699
754. Упорядоченные множества (в обобщенном смысле)........ 700
755. Упорядоченная переменная и ее предел............... 704
756. Примеры................................ 705
757. Замечание о пределе функции .................... 708
758. Распространение теории пределов.................. 709
759. Одинаково упорядоченные переменные...............712
760. Упорядочение с помощью числового параметра ..........714
761. Сведение к варианте..........................715
762. Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной .718
Алфавитный указатель..............................721