ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава XVIII.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
I. Получение дифференциальных уравнений................ 9
362. Исключение постоянных.................... 9
II. Уравнения первого порядка...................... 12
363. Разделение переменных.................... 12
364. Однородное уравнение..................... 13
365. Линейные уравнения..................... 15
366. Уравнение Бернулли ..................... 17
367. Уравнение Якоби....................... 17
368. Уравнение Риккати...................... 18
369. Уравнения, не разрешенные относительно y'.......... 20
370. Уравнение Лагранжа..................... 22
371. Уравнение Клеро....................... 23
372. Интегрирование уравнений F(x, y') = 0, F(y, у') = 0...... 24
373. Интегрирующий множитель.................. 25
374. Приложение к конформному отображению........... 28
375. Уравнение Эйлера....................... 29
376. Метод, основанный на теореме Абеля.............. 33
377. Теоремы Дарбу........................ 34
378. Приложения......................... 37
III. Уравнения высших порядков..................... 39
379. Интегрирование уравнений dny/dxn=f(x)............ 39
380. Различные случаи понижения порядка............. 42
381. Приложения......................... 45
Упражнения ......................... 47
Глава XIX.
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ.
1. Исчисление пределов......................... 51
382. Общие положения....................... 51
383. Существование интегралов системы дифференциальных уравнений . 51
384. Системы линейных уравнений................. 55
385. Уравнения в полных дифференциалах.............. 56
386. Применение исчисления пределов к уравнениям в частных производных ..................58
387. Общий интеграл системы дифференциальных уравнений..... 63
II. Метод последовательных приближений. Метод Коши-Липшица..... 67
388. Последовательные приближения................ 67
389. Случай линейных уравнений.................. 70
390. Распространение на аналитические функции.......... 71
391. Метод Коши-Липшица.................... 73
392. Разложение 1/(1-x) в ряд полиномов ............. 79
III. Первые интегралы. Множитель.................... 81
393. Первые интегралы...................... 81
394 Множитель.......................... 87
395. Интегральные инварианты .................. 89
IV. Бесконечно малые преобразования.................. 92
396. Группы с одним параметром.................. 92
397. Приложение к дифференциальным уравнениям.......... 95
398. Бесконечно малые преобразования............... 97
Упражнения.......................... 103
Глава XX.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
1. Общие свойства. Фундаментальные системы............. 105
399. Особые точки линейного дифференциального уравнения..... 105
400. Фундаментальные системы................... 107
401. Неоднородное линейное уравнение............... 111
402. Понижение порядка линейного уравнения........... 114
403. Аналогии с алгебраическими уравнениями........... 118
401. Сопряженное уравнение.................... 119
11. Некоторые частные виды линейных уравнений............ 121
405. Уравнения с постоянными коэффициентами........... 121
406. Метод Даламбера....................... 126
407. Линейные уравнения Эйлера ................. 128
408. Уравнение Лапласа...................... 129
III. Правильные интегралы. Уравнения с периодическими коэффициентами .. 133
409. Подстановка интегралов вокруг критической точки....... 133
410. Исследование общего случая.................. 135
411. Аналитический вид интегралов................. 136
412. Теорема Фукса...................... 138
413. Уравнение Гаусса...................... 143
414. Уравнение Бесселя...................... 145
415. Уравнения Пикара...................... 147
416. Уравнения с периодическими коэффициентами............. 150
417. Характеристические показатели................ 152
IV. Системы линейных уравнений.................... 151
418. Общие свойства........................ 154
419. Сопряженные системы..................... 158
420. Линейные системы с постоянными коэффициентами....... 159
421. Приведение к каноническому виду............... 163
422. Уравнение Якоби...................... 164
423. Системы с периодическими коэффициентами........... 165
424. Приводимые системы..................... 166
Упражнения.......................... 168
Глава XXI.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
I. Особые начальные значения..................... 172
425. Случай, когда первая производная обращается в бесконечность . 172
426—427. Случай, когда значение первой производной неопределенно . 173
II. Исследование функций, определяемых некоторыми уравнениями первого
порядка.............................. 180
428. Особые точки интегралов................... 180
429. Функции, определяемые дифференциальным уравнением у' = R (х,у) 181
430. Однозначные интегралы уравнения у'т = R(y)......... 186
431. Вывод эллиптических функций из уравнения Эйлера...... 192
432. Уравнения высших порядков.................. 194
III. Особые интегралы.......................... 196
433. Особый интеграл уравнения первого порядка.......... 196
434. Примеры; различные замечания................ 196
435. Геометрическое истолкование................. 202
436. Особые интегралы системы дифференциальных уравнений .... 204 Упражнения......................... 206
Глава XXII.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
I. Линейные уравнения первого порядка................ 212
437. Общий способ........................ 212
438. Геометрическое истолкование................. 216
439. Характеристические конгруэнции................ 219
I. Уравнения в полных дифференциалах................. 222
440. Исследование уравнения dz = Adx+Bdy........... 222
441. Метод Майера........................ 226
442. Исследование уравнения Ρdx+ Qdy + Rdz = 0........ 227
443. Скобки (u, ν) и [u, ν]..................... 231
III. Уравнения первого порядка с тремя переменными........... 233
444. Полные интегралы...................... 233
445. Метод Лагранжа и Шарпи.................. 237
446. Задача Коши......................... 242
447. Характеристики. Метод Коши................. 245
448. Вывод характеристик из полного интеграла .......... 254
449. Распространение метода Коши на случай многих переменных .. 256
IV. Совместные уравнения........................ 259
450. Однородные линейные системы ................ 259
451. Полные системы........................ 262
452. Обобщение теории полных интегралов............ 266
453. Системы в инволюции..................... 267
454. Метод Якоби......................... 271
Y. Общее понятие об уравнениях высших порядков........... 272
455. Исключение произвольных функций.............. 272
456. Общая теорема существования................. 276
Упражнения.......................... 280
Указатель ............................... 284