ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава XXX

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

I. Линейные интегральные уравнения с переменными пределами

548. Уравнение Вольтерра ................... 9

549. Разрешающее ядро (резольвента) ........... 12

550. Нахождение разрешающих ядер в некоторых частных случаях 14

551. Применение к линейным дифференциальным уравнениям .. 15

552. Распространение на функции многих переменных..... 17

553. Задача об обращении определенного интеграла ...... 19

554. Уравнение первого рода ............... 20

555. Обобщенное уравнение Абеля.............. 23

II. Линейные интегральные уравнения с постоянными пределами

556. Требования, налагаемые на ядро........... 25

557. Решение с помощью последовательных приближений ... 27

558. Повторные ядра.................. 29

559. Ра решающее ядро.................. 30

560. Свойства разрешающих ядер.............. 84

561. Неограниченные ядра.................. 36

562. Системы интегральных уравнений............ 40

563. Случай функций многих переменных.......... —

Дополнения и упражнения................ 43

Глава XXXI

УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА

I. Теорема Фредгольма

564. Об одном методе наведения.............. 47

565. Функции ................ 48

566. Разложение функции D'(λ):D(λ)............. 52

567. Миноры функции D(λ)................. 53

568. Однородное уравнение. Фундаментальные функции .... 55

569. Исследование особого случая.............. 58

570. Случай неограниченных ядер.............. 59

571. Ядра вида ΣΧiYi.................... 63

572. Другой метод индукции................. 65

II. Изучение разрешающего ядра

573. Ортогональные и биортогональные системы....... 66

574. Ортогональные и полуортогональные ядра........ 69

575. Приложение к фундаментальным функциям....... 72

576. Главные ядра..................... 76

577. Строение главного ядра................. 79

578. Приведение к каноническому виду............ 81

579. Каноническая резольвента ................ 84

580. Главные функции.................... 86

581. Теоремы Фредгольма................... 90

582. Нахождение характеристических значений........ 92

583. Метод Шварца..................... 95

584. Род функции D (λ)................... 96

585. Разложение разрешающего ядра............. 98

586. Особые ядра...................... 102

Дополнения и упражнения............... 104

Глава XXXII

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

587. Симметрические ядра.................. 108

588. Неравенство Бесселя.................. 112

589. Теорема Гильберта-Шмидта............... 114

590. Классификация симметрических ядер........... 117

591. Разложение повторных ядер............... 119

592. Положительные ядра.................. 122

593. Ядра Шмидта...................... 124

594. Распространение неравенства Бесселя на биортогональные системы ....... 128

595. Ядра вида А (х) S (х, у)................ 130

596. Симметризуемые ядра................. 132

597. Кососимметрические ядра ............ 134

598. Фундаментальные функции Шмидта.......... 136

599. Теорема Фишер-Риса.................. 140

600. Интегральное уравнение первого рода......... 142

601. Приближение в среднем................. 144

Дополнения и упражнения............... 146

Глава ХХХШ

ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

I. Приложения к дифференциальным уравнениям

602. О некоторых свойствах линейных уравнений....... 150

603. Новые задачи для линейных уравнений......... 154

604. Определения интеграла по его значениям у (а) и у (b) .. 156

605. Изучение особых значений............... 159

606. Охлаждение неоднородного бруса........... 160

607. Изучение особого случая................ 163

608. Периодические решения................. 166

II. Приложение к уравнениям в частных производных

609. Задачи, относящиеся к гармоническим функциям..... 167

610. Различные замечания.................. 174

611. Плоские задачи.................... 175

612. Задачи распределения тепла............... 178

613. Функции, аналогичные функции Грина ........ —

614. Задачи, связанные с уравнением ΔU=F(x.у, z)..... 184

615. Задачи, связанные с уравнением ΔU =λRU+R1.... 185

616. Колебания упругой мембраны.............. 189

617. Задачи об охлаждении ................ 190

618. Общее уравнение эллиптического типа.......... 192

Дополнения и упражнения............... 194

Глава XXXIV

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

I. Первая вариация экстремали

619. Предварительные леммы................ 203

620. Определения. Содержание первой задачи......... 205

621. Первая вариация. Уравнение Эйлера.......... 208

622. Примеры ..................... 211

623. Случай нескольких неизвестных функций....... 214

624. Случай, когда функция F содержит производные высших порядков............. 219

625. Общее выражение для первой вариации........ —

626. Случай переменных пределов. Трансверсали....... 222

627. Задачи условного экстремума.............. 226

628. Изопериметрические задачи............... 228

629. Первая вариация двойного интеграла.......... 229

II. Вторая вариация. Необходимые условия экстремума

630. Предварительное замечание............... 231

631. Условие Лежандра................... 234

632. Условие Якоби .................... 236

633. Геометрическая интерпретация. Сопряженные фокусы ... 238

634. Примеры .................. 240

635. Недостаточность предыдущих условий.......... 242

636. Условие Вейерштрасса. Функция Ε........... 245

637. Теория Клобша..................... 248

III. Поле экстремалей. Достаточные условия

638. Определение поля экстремальных кривых ........ 253

639. Теорема Вейерштрасса................ 256

640. Достаточные условия................ 257

641. Сильный минимум и слабый минимум.......... 259

642. Интерпретация метода Вейерштрасса........... 262

643. Уравнение семейства трансверсалей........... 264

644. Случай двух неизвестных функций............ 265

IV. Теория Вейерштрасса. Разрывные решения

645. Параметрическая форма интеграла............ 267

646. Новая задача...................... 270

647. Общая форма уравнения Эйлера............. 272

648. Условия Лежандра и Якоби............... 274

649. Условие Вейерштрасса................ 277

650. Система достаточных условий ............. 279

651. Примеры. Геодезические линии............. 288

652. Метод Дарбу-Кнезера................ 284

653. Разрывные угловые решения............ 285

654. Односторонние вариации............... 283

655. Замечания об абсолютном экстремуме.......... 291

Дополнения и упражнения............... 293

Указатель............................. 298

Общий указатель ко всему сочинению............... 301

 

 

Хостинг от uCoz