ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому изданию................... 10

Некоторые обозначения ....................... 12

Принятые сокращения в библиографических указаниях........ 12

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Глава I. Линейные и квазилинейные уравнения......... 13

§ 1. Введение............................ 13

1.1. Общие понятия, обозначения и терминология........ 13

1.2. Замечания о решениях................... 14

§ 2. Линейное однородное уравнение с двумя независимыми

переменными: f(x, y)p + g(x, y)q=0................. 15

2.1. Геометрическая интерпретация.............. 15

2.2. Замечания об интегралах и линиях уровня ........ 17

2.3. Характеристики и интегральные поверхности....... 19

2.4. Решение уравнения посредством характеристик...... 20

2.5. Решение уравнения посредством комбинирования характеристических уравнений ........... 21

2.6. Частный случай: р+f (х, у) q = 0............ 23

2.7. Функциональная зависимость и якобиан.......... 26

2.8. Главный интеграл; решение задачи Коши......... 29

2.9. Замечания об использовании разложений в ряды..... 32

2.10. Методы решения..................... 32

§ 3. Линейное однородное уравнение с n независимыми переменными:  ..... 32

3.1. Определения и замечания ................. 32

3.2. Характеристики и интегральные поверхности........ 33

3.3. Решение уравнения посредством комбинирования характеристических уравнений.......... 34

3.4. Фундаментальная система интегралов; задача Коши..... 34

3.5. Редукция уравнения в случае, если известны частные интегралы .......................... 36

3.6. Частный случай: .......... 38

3.7. Решение задачи Коши................... 41

3.8. Множители Якоби..................... 42

3.9. Методы решения...................... 43

§ 4. Общее линейное уравнение: .... 44

4.1. Определения........................ 44

4.2. Сведение общего линейного уравнения к однородному ... 45

4.3. Теорема существования и единственности.......... 46

4.4. Неравенство Хаара..................... 47

4.5. Дополнения для случая n=2................ 48

§ 5. Квазилинейное уравнение: ....... 49

5.1. Геометрическая интерпретация............... 49

5.2. Характеристики и интегральные поверхности........ 50

5.3. Решение уравнения посредством характеристик....... 51

5.4. Сведение квазилинейного уравнения к линейному однородному ............................ 54

5.5. Частный случай: .... 55

5.6. Решение задачи Коши................... 57

5.7. Разложение в ряды..................... 58

5.8. Методы решения...................... 59

§ 6. Система линейных уравнений.................. 59

6.1. Частный случай: p_v=f_v(r), v=l,..., n ......... 59

6.2. Общая линейная система: определения и обозначения .... 61

6.3. Инволюционные системы и полные системы......... 62

6.4. Метод Майера для решения якобиевой системы...... 64

6.5. Свойства полной системы................. 66

6.6. Однородные системы.................... 67

6.7. Редукция однородной системы............... 68

6.8. Редукция общей системы.................. 73

6.9. Методы решения...................... 74

§ 7. Система квазилинейных уравнений................ 74

7.1. Частный случай...................... 74

7.2. Общая квазилинейная система............... 76

Глава II. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными ........................ 78

§ 8. Общие понятия, обозначения и терминология .......... 78

8.1. Геометрическая интерпретация уравнения ......... 78

8.2. Геометрическая интерпретация характеристик........ 80

8.3. Определение полосы.................... 82

8.4. Вывод характеристической системы............. 82

8.5. Другие выводы характеристической системы........ 84

8.6. Обыкновенные и особые плоскостные элементы....... 87

8.7. Интегральные полосы и интегральные поверхности..... 88

8.8. Частный, особый, полный и общий интегралы........ 89

§ 9. Метод Лагранжа......................... 90

9.1. Первые интегралы..................... 90

9.2. Случай двух неочевидных первых интегралов........ 92

9.3. Случай одного неочевидного первого интеграла....... 95

9.4. Получение однопараметрического семейства интегралов из двух неочевидных первых интегралов........... 96

9.5. Получение частных интегралов из полного интеграла .... 97

9.6. Решение задачи Коши................... 99

§ 10. Некоторые другие методы решения............... 101

10.1. Нормальная задача Коши................. 101

10.2. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 103

10.3. Частный случай: р=f(х, у, z, q)............. 104

10.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций................ 106

10.5. Более общие разложения в ряды............. 107

10.6. Методы решения..................... 110

§11. Решение частных видов нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными...111

11.1. F(х, у, z, р) =0 и F(х, у, z, q)=0........... 111

11.2. F(p, q)=0....................... 111

11.3. F(z, p, q)=0...................... 112

11.4. p=f(x, q) и q=g(y, p)................ 113

11.5. f(x, p) = g(y, q) и F[f(x, py(z)), g(y, qφ(z))]=0 .. 113

11.6. f(x, p) + g(y, q)=z.................. 113

11.7. p=f(y/x, q) и F(y/x, p, q, xp+yq—z)=0...... 113

11.8. F(xp+yq, z, p, q)=0................. 114

11.9. p²+q² = f(x²+ y², yp—xq).............. 114

11.10. F[f(x)p, g(y)q, z]=0................. 114

11.11. f(p, q)=xp+yq; f однородна по p, q.......... 115

11.12. z=xp+yq+f(p, q) и F(p, q, z—xp—yq) = 0 .... 116

11.13. F(x, y, p, q)=0.................... 117

11.14. F(x, y, z, p, q)=0. Преобразование Лежандра...... 118

11.15. F(x, у, z, p, q)=0. Преобразование Эйлера....... 119

11.16. F(xp—z, у, р, q)=0.................. 120

11.17. xf(y, p, xp—z)+qg(y, p, xp—z)=h(y, p, xp—z) .. 120

11.18. qf(u)=xp—yq; xqf(u)=xp—yq; xf(u, p, q)+

+yg(u, p, q) = h(u, p, q), где u=xp+yq—z..... 120

Глава III. Нелинейные уравнения с n независимыми переменными .......................... 121

§ 12. Нелинейное уравнение с n независимыми переменными: F(r, z, р)=0….121

12.1. Общие понятия, обозначения и терминология....... 121

12.2. Характеристические полосы и интегральные поверхности . 123

12.3. Сведение уравнения к такому, которое содержит лишь производные искомой функции.............. 124

12.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций............ 126

12.5. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 126

12.6. Частный случай: р=f(х, у, z, q)............ 128

12.7. Полный интеграл; получение частных интегралов из полного 130

12.8. Метод Якоби....................... 133

12.9. Частный случай: р=f(х, у, q)............. 134

12.10. Приложение к механике................. 136

12.11. Оценка Нагумо..................... 137

§ 13. Решение частных видов нелинейных уравнений с n независимыми

переменными.......................... 138

13.1. F(p)=0......................... 138

13.2. F(z, p)=0........................ 139

13.3. F[f₁(x₁, p₁φ(z)).....f_n(x_n, p_nφ(z))]=0........ 139

13.4. Однородные уравнения.................. 140

13.5. F(r, z, р)=0. Преобразование Лежандра......... 140

13.6. где 1≤k≤n и

f_v=f_v(x₁,...,x_k—1, p_k,..., p_n,  …….141

13.7. z=x₁p₁+...+x_np_n+f(p₁ ..., р_n)........... 142

§ 14. Система нелинейных уравнений................. 142

14.1. Частный случай: p_v=f^v(r, у, z, q), v=1, ..., m..... 142

14.2. Теорема существования и единственности для якобиевой системы в области аналитических функций......... 145

14.3. Теорема существования и единственности для якобиевой системы в области действительных функций. Метод Майера

для решения якобиевой системы.............. 143

14.4. Скобки Якоби и Пуассона................. 145

14.5. Общая нелинейная система................ 146

14.6. Инволюционные системы и полные системы........ 147

14.7. Метод Якоби для инволюционной системы, не зависящей от z........................... 148

14.8. Применение преобразования Лежандра........... 150

14.9. Метод Якоби для общей системы............. 152

ЧАСТЬ ВТОРАЯ ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Предварительные замечания.................... 154

Глава I. Уравнения, содержащие лишь одну частную производную ........................... 155

Глава II. Линейные и квазилинейные уравнения с двумя независимыми переменными. 157

1-12. f(x, y)p+g(x, y)q=0................ 157

13-19. f(x, y)p+g(x, y)q=h(x, у)............ 161

20-31. f(x, y)p+g(x, y)q=h₁(x, y)z+h₀(x, y)...... 162

32-43. f(x, y)p+g(x, y)q=h(x, y, z)........... 165

44—59. f(x, y, z) p+g(x, y, z)q=h(x, y, z); функции f, g линейны относительно z ................. 169

60—65. f(x, у, z) p+g(x, у, z)q=h(x, у, z); функции f, g по z не выше второй степени................ 175

66—71. Прочие квазилинейные уравнения............ 174

Глава III. Линейные и квазилинейные уравнения с тремя независимыми переменными................ 176

1—19. f(x, у, z)w_x+g(x, у, z)w_y+h(x, у, z)w_z=0; функции f, g, h степени не выше первой.......... 176

1—6. Одночленные коэффициенты.............. 176

7—11. Двучленные коэффициенты............... 177

12—19. Трехчленные коэффициенты............... 177

20—41. f(x, у, z)w_x+g(x, у, z)w_y+h(x, у, z)w_z=0; функции f, g, h степени не выше второй.......... 181

20—27. Одночленные коэффициенты.............. 181

28—38. Двучленные коэффициенты............... 182

39—41. Трехчленные коэффициенты............... 183

42—59. f(x, у, z)w_x+g(x, у, z)w_y+h(x, у, z)w_z=0, прочие случаи....................... 184

60—64. Общие линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения....................... 189

Глава IV. Линейные и квазилинейные уравнения с четырьмя и

более независимыми переменными.......... 191

Глава V. Системы линейных и квазилинейных уравнений . . . 196

1—2. Две независимые переменные.............. 196

3—9. Три независимые переменные.............. 197

10—17. Четыре независимые переменные и два уравнения .... 199

18—23. Четыре независимые переменные и три уравнения .... 201

24—29. Пять независимых переменных и два уравнения..... 204

30—32. Пять независимых переменных и три или четыре уравнения .......................... 207

33—36. Прочие системы.................... 208

Глава VI. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными ........................ 210

1—13. ар²+... ......................... 210

14—20. f(x, у, z)p²+..................... 212

21—33. apq+... ......................... 214

34—42. f(x, y)pq+... ...................... 217

43—48. f(z) pq+... ....................... 222

49—54. (..)p²+(..)pq+... ................... 223

55—68. ар²+bq²=f(x, y, z)................ 225

69-74. f(x, y)p²+g(x, y) q²=h(x, y, z).......... 228

75—80. f(x, y, z)p² + g(x. y, z)q²=h(x, y, z)....... 230

81-88. (..)p² + (..)q² + (..)p+(..)q... ........... 231

89-111. (..)p²+(..)q²+(..)pq+... ............... 234

112—127. Уравнения третьей и четвертой степени относительно р, q........................ 241

128—139. Прочие нелинейные уравнения............ 243

Глава VII. Нелинейные уравнения с тремя независимыми переменными ........................ 246

1—7. Уравнения с одним или двумя квадратами производных 246

 8—14. Более двух квадратов производных с постоянными коэффициентами ....................... 248

15—21. Остальные уравнения с квадратами производных .... 249

22—31. Уравнения с производными в более высоких степенях . . 252

Глава VIII. Нелинейные уравнения с более чем тремя независимыми переменными.....254

Глава IX. Системы нелинейных уравнений 259