ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к четвертому изданию............... 11
Некоторые обозначения................... 13
Принятые сокращения в библиографических указаниях....... 13
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка ...... 19
§ 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной: у' = f(x, у); основные понятия........... 19
1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциального уравнения ..................... 19
1.2. Существование и единственность решения........ 20
§ 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной: y'=f(x, у); методы решения............ 21
2.1. Метод ломаных.................. 21
2.2. Метод последовательных приближений Пикара — Линделёфа 23
2.3. Применение степенных рядов............ 24
2.4. Более общий случай разложения в ряд......... 25
2.5. Разложение в ряд по параметру............ 27
2.6. Связь с уравнениями в частных производных....... 27
2.7. Теоремы об оценках................ 28
2.8. Поведение решений при больших значениях x....... 30
§ 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной:
F(y', у, х) = 0 …………...32
3.1. О решениях и методах решения............ 32
3.2. Регулярные и особые линейные элементы........ 33
§ 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого порядка ....................... 34
4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ..................... 35
4.2. y'=f(ax+by+c) ................ 35
4.3. Линейные дифференциальные уравнения......... 35
4.4. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений................ 36
4.5. Уравнение Бернулли у'+f(х)у+g(x)ya=0....... 38
4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним....................... 38
4.7. Обобщенно-однородные уравнения........... 40
4.8. Специальное уравнение Риккати: у'+ау2 = bхα...... 40
4.9. Общее уравнение Риккати: у'=f(x)y2+g(x)y+h(x) ... 41
4.10. Уравнение Абеля первого рода............. 44
4.11. Уравнение Абеля второго рода.......... 47
4.12. Уравнение в полных дифференциалах.......... 49
4.13. Интегрирующий множитель............. 49
4.14. F(y',y,x)=0, «интегрирование посредством дифференцирования» ....................... 50
4.15. (a) y=G(x, y'); (б) x=G(y, y')........... 50
4.16. (a) G(y', x)=0; (б) G(y', y)=0........... 51
4.17. (a) y=g(y'); (б) x=g(y')............. 51
4.18. Уравнения Клеро................ 52
4.19. Уравнение Лагранжа — Даламбера ......... 52
4.20. F(x, xy'—у, у')=0. Преобразование Лежандра...... 53
Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных.......... 54
§ 5. Основные понятия................... 54
5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений................. 54
5.2. Существование и единственность решения........ 54
5.3. Теорема существования Каратеодори.......... 55
5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров 56
5.5. Вопросы устойчивости................ 57
§ 6. Методы решения................... 59
6.1. Метод ломаных.................. 59
6.2. Метод последовательных приближений Пикара — Линделёфа . 59
6.3. Применение степенных рядов............. 60
6.4. Связь с уравнениями в частных производных....... 61
6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями..................... 61
6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения 62
6.7. Теоремы об оценках.................. 62
§ 7. Автономные системы.................. 63
7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы .. 64
7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае n=2.................. 65
7.3. Критерии для определения типа особой точки....... 66
Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений .... 70
§ 8. Произвольные линейные системы.............. 70
8.1. Общие замечания................. 70
8.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения . 70
8.3. Сведение неоднородной системы к однородной...... 71
8.4. Теоремы об оценках................. 71
§ 9. Однородные линейные системы ............. 72
9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений ... 72
9.2. Теоремы существования и методы решения ........ 74
9.3. Редукция системы к системе с меньшим числом уравнений .. 75
9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений .... 76
9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений .. 76
9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина............... 77
9.7. Фундаментальные решения.............. 78
§ 10. Однородные линейные системы с особыми точками....... 79
10.1. Классификация особых точек............. 79
10.2. Слабо особые точки................. 80
10.3. Сильно особые точки................ 82
§ 11. Поведение решений при больших значениях x......... 83
§ 12. Линейные системы, зависящие от параметра......... 84
§ 13. Линейные системы с постоянными коэффициентами....... 86
13.1. Однородные системы................ 83
13.2. Системы более общего вида............. 87
Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения n-го порядка 89
§ 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной:
y{n)=f(x, y, y',..., y(n-1))................ 89
§ 15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной:
F(x, y, y', ..., y(n))=0................. 90
16.1. Уравнения в полных дифференциалах.......... 90
15.2. Обобщенно-однородные уравнения.......... 90
15.3. Уравнения, не содержащие явно χ или у........ 91
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-ro порядка ... 92
§ 16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 92
16.1. Общие замечания................. 92
16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения . 92
16.3. Исключение производной (n—1)-го порядка....... 94
16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к однородному ................... 94
16.5. Поведение решений при больших значениях χ....... 94
§ 17. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 95
17.1. Свойства решений и теоремы существования....... 95
17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения .... 96
17.3. О нулях решений................. 97
17.4. Фундаментальные решения............. 97
17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные дифференциальные формы................ 93
17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина..... 99
17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полных дифференциалах............... 100
§ 18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми точками .....101
18.1. Классификация особых точек............. 101
18.2. Случай, когда точка x=ξ регулярная или слабо особая ..104
18.3. Случай, когда точка х= ∞ регулярная или слабо особая .. 106
18.4. Случай, когда точка х=ξ сильно особая........ 107
18.5. Случай, когда точка х=∞ сильно особая........ 108
18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами .................... 109
18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами ...................... 109
18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэффициентами ................... 111
18.9. Случай действительного переменного.......... 112
§ 19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью определенных интегралов...................113
19.1. Общий принцип..................113
19.2. Преобразование Лапласа..............116
19.3. Специальное преобразование Лапласа.........119
19.4. Преобразование Меллина..............120
19.5. Преобразование Эйлера...............121
19.6. Решение с помощью двойных интегралов........123
§ 20. Поведение решений при больших значениях х.........124
20.1. Полиномиальные коэффициенты...........124
20.2. Коэффициенты более общего вида...........125
20.3. Непрерывные коэффициенты.............125
20.4. Осцилляционные теоремы..............126
§ 21. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, зависящие
от параметра.....................127
§ 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных уравнений n-го порядка...129
22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами ............129
22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами...........130
22.3. Уравнения Эйлера.................132
22.4. Уравнение Лапласа................132
22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами......133
22.6. Уравнение Похгаммера...............134
Глава VI. Дифференциальные уравнения второго порядка.....139
§ 23. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка ... 139
23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений ... 139
23.2. Некоторые дополнительные замечания.........140
23.3. Теоремы о предельных значениях...........141
23.4. Осцилляционная теорема..............142
§ 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго порядка ........................142
24.1. Общие замечания.................142
24.2. Некоторые методы решения.............143
24.3. Теоремы об оценках................144
§ 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка ........................145
25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второго порядка .....................145
25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второго порядка...................147
25.3. Разложение решения в непрерывную дробь........149
25.4. Общие замечания о нулях решений..........150
25.5. Нули решений на конечном интервале..........151
25.6. Поведение решений при x→∞............153
25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с особыми точками............155
25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения; действительное переменное......157
25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное ....161
25.10. Метод ВБК...................162
Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков.... 163
§ 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка .... 163
§ 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка ...164
Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений.....165
§ 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка.....................165
28.1. Метод ломаных..................165
28.2. Метод добавочного полушага.............166
28.3. Метод Рунге — Хейна — Кутта............167
28.4. Комбинирование интерполяции и последовательных приближений .....................168
28.5. Метод Адамса..................170
28.6. Дополнения к методу Адамса............172
§ 29. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков......174
29.1. Методы приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка..........174
29.2. Метод ломаных для дифференциальных уравнений второго порядка ....................176
29.3. Метод Рунге — Кутта для дифференциальных уравнений второго порядка...................177
29.4. Метод Адамса — Штёрмера для уравнения у"=f(х, y, у') .. 177
29.5. Метод Адамса — Штёрмера для уравнения у"=f(х, y) ....178
29.6. Метод Блесса для уравнения у"= f(x, y, y').......179
ЧАСТЬ ВТОРАЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений n-го порядка .. . 182
§ 1. Общая теория краевых задач...............182
1.1. Обозначения и предварительные замечания........182
1.2. Условия разрешимости краевой задачи..........184
1.3. Сопряженная краевая задача.............185
1.4. Самосопряженные краевые задачи...........187
1.5. Функция Грина..................188
1.6. Решение неоднородной краевой задачи с помощью функции Грина .....................190
1.7. Обобщенная функция Грина..............190
§ 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения
...............193
2.1. Собственные значения и собственные функции; характеристический детерминант Δ(λ)...193
2.2. Сопряженная задача о собственных значениях и резольвента Грина; полная биортогональная система ......... 194
2.3. Нормированные краевые условия; регулярные задачи о собственных значениях...........196
2.4. Собственные значения для регулярных и нерегулярных задач
о собственных значениях...............198
2.5. Разложение заданной функции по собственным функциям регулярных и нерегулярных задач о собственных значениях ..199
2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственных значениях 200
2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма......204
2.8. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Фредгольма...............209
2.9. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Фредгольма..........210
2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтерра.......211
2.11. Связь между краевыми задачами и интегральными уравнениями типа Вольтерра........ 212
2.12. Связь между задачами о собственных значениях и интегральными уравнениями типа Вольтерра.......... 213
2.13. Связь между задачами о собственных значениях и вариационным исчислением...............215
2.14. Применение к разложению по собственным функциям ... 218
2.15. Дополнительные замечания.............219
§ 3. Приближенные методы решения задач о собственных значениях и
краевых задач....................222
3.1. Приближенный метод Галеркина — Ритца........222
3.2. Приближенный метод Граммеля............224
3.3. Решение неоднородной краевой задачи по методу Галеркина — Ритца...................225
3.4. Метод последовательных приближений.........226
3.5. Приближенное решение краевых задач и задач о собственных значениях методом конечных разностей.........227
3.6. Метод возмущений ................230
3.7. Оценки для собственных значений...........233
3.8. Обзор способов вычисления собственных значений и собственных функций..................236
§ 4. Самосопряженные задачи о собственных значениях для уравнения F(y) = λG(у) …..238
4.1. Постановка задачи ..............238
4.2. Общие предварительные замечания..........239
4.3. Нормальные задачи о собственных значениях ......240
4.4. Положительно определенные задачи о собственных значениях 241
4.5. Разложение по собственным функциям.........244
§ 5. Краевые и дополнительные условия более общего вида.....247
Глава II. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем линейных дифференциальных уравнений......249
§ 6. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для систем линейных дифференциальных уравнений............249
6.1. Обозначения и условия разрешимости..........249
6.2. Сопряженная краевая задача.............250
6.3. Матрица Грина..................252
6.4. Задачи о собственных значениях ..........252
6.5. Самосопряженные задачи о собственных значениях ... 253
Глава III. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для
уравнений низших порядков...........256
§ 7. Задачи первого порядка.................256
7.1. Линейные задачи.................256
7.2. Нелинейные задачи................257
§ 8. Линейные краевые задачи второго порядка..........257
8.1. Общие замечания................257
8.2. Функция Грина..................258
8.3. Оценки для решений краевых задач первого рода.....259
8.4. Краевые условия при │х│→ ∞.............259
8.5. Отыскание периодических решений...........260
8.6. Одна краевая задача, связанная с изучением течения жидкости ......................260
§ 9. Линейные задачи о собственных значениях второго порядка ... 261
9.1. Общие замечания.................261
9.2 Самосопряженные задачи о собственных значениях .... 263
9.3. у' = F(x,λ)z, z' = —G(x, λ)y и краевые условия самосопряженны .....................266
9.4. Задачи о собственных значениях и вариационный принцип . 269
9.5. О практическом вычислении собственных значений и собственных функций...................271
9.6. Задачи о собственных значениях, не обязательно самосопряженные ....................271
9.7. Дополнительные условия более общего вида.......273
9.8. Задачи о собственных значениях, содержащие несколько параметров ....................275
9.9. Дифференциальные уравнения с особенностями в граничных точках .....................276
9.10. Задачи о собственных значениях на бесконечном интервале . 277
§ 10. Нелинейные краевые задачи и задачи о собственных значениях второго порядка.........278
10.1. Краевые задачи для конечного интервала........278
10.2. Краевые задачи для полуограниченного интервала.....281
10.3. Задачи о собственных значениях...........282
§ 11. Краевые задачи и задачи о собственных значениях третьего —
восьмого порядков ................... 283
11.1. Линейные задачи о собственных значениях третьего порядка 283
11.2. Линейные задачи о собственных значениях четвертого порядка 284
11.3. Линейные задачи для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка..... 286
11.4. Нелинейные краевые задачи четвертого порядка......287
11.5. Задачи о собственных значениях более высокого порядка .. 288
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предварительные замечания.................290
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка......294
1—367. Дифференциальные уравнения первой степени относительно у' ..................294
368—517. Дифференциальные уравнения второй степени относительно у' ..................334
518—544. Дифференциальные уравнения третьей степени относительно у' ..................354
545—576. Дифференциальные уравнения более общего вида ... 358
Глава II. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка .. 363
1—90. ау" + .......................363
91—145. (ах + b)у" + .....................385
146—221. х2у" +.....................396
222—250. (x2±a2)y" + .....................410
251—303. (ах2+bх+с)у" + ...................419
304—341. (ах3 + ...)y" + .....................435
342—396. (ах4 + ...)у" + ....................442
397—410. (axn + ...)у"+ ...; n≥5............449
411—445. Прочие дифференциальные уравнения........454
Глава III. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка 460
Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка 471
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения пятого и более высоких порядков.. 482
Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка 485
1—72. ay"=F(x, y, y') ................485
73—103. f(x)у" =F(x, у, у') ..............497
104—187. f(x)yy"=F(x,y,y') ..............503
188-225. f(x,y)y"=F(x, у, у') ..............514
226—249. Прочие дифференциальные уравнения........520
Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более
высоких порядков……………525
Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений .......530
Предварительные замечания...............530
1—18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами........530
19—25. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами.......534
26—43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка выше первого...535
44—57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 538
Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений ...541
1—17. Системы двух дифференциальных уравнений......541
18—29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений 544
ДОПОЛНЕНИЯ
О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И. Зборник).........................547
Дополнения к книге Э. Камке (Д. Митринович)..........556
Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и построения их общего решения с помощью рекуррентных формул (И. Зборник).....................568
Предметный указатель................571