ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию................... 9
Предисловие ко второму изданию.................. 12
Предисловие к третьему изданию................... 12
В ведение. Общие правила вычислительной работы........ 13
Глава I. Приближенные числа................... 17
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности.......... 17
§ 2. Основные источники погрешностей.............. 20
§ 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков............21
§ 4. Округление чисел...................... 24
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа.....25
§ 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот......... 28
§ 7. Погрешность суммы..................... 31
§ 8. Погрешность разности.................... 33
§ 9. Погрешность произведения................. 35
§ 10. Число верных знаков произведения............. 37
§ 11. Погрешность частного.................... 38
§ 12. Число верных знаков частного ............... 39
§ 13. Относительная погрешность степени............. 39
§ 14. Относительная погрешность корня.............. 39
§ 15. Вычисления без точного учета погрешностей........ 40
§ 16. Общая формула для погрешности.............. 41
§ 17. Обратная задача теории погрешностей............ 43
§ 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей ............................ 46
§ 19. Способ границ........................ 48
§ 20*. Понятие о вероятностной оценке погрешности........ 51
Литература к первой главе...................... 52
Глава II. Некоторые сведения из теории цепных дробей..... 53
§ 1. Определение цепной дроби.................. 53
§ 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно..... 54
§ 3. Подходящие дроби..................... 56
§ 4. Бесконечные цепные дроби.................. 64
§ 5. Разложение функций в цепные дроби............. 70
Литература ко второй главе..................... 73
Глава III. Вычисление значений функций............. 74
§ 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера....... 74
§ 2. Обобщенная схема Горнера................. 77
§ 3. Вычисление значений рациональных дробей......... 79
§ 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов...... 80
§ 5. Вычисление значений аналитической функции........ 86
§ 6. Вычисление значений показательной функции........ 88
§ 7. Вычисление значений логарифмической функции....... 92
§ 8. Вычисление значений тригонометрических функций..... 95
§ 9. Вычисление значений гиперболических функций....... 98
§ 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления
значений функции..................... 100
§ 11. Вычисление обратной величины............... 101
§ 12. Вычисление квадратного корня............... 104
§ 13. Вычисление обратной величины квадратного корня..... 108
§ 14. Вычисление кубического корня............... 108
Литература к третьей главе..................... 111
Глава IV. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.........112
§ 1. Отделение корней......................112
§ 2. Графическое решение уравнений...............116
§ 3. Метод половинного деления.................118
§ 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд)........119
§ 5. Метод Ньютона (метод касательных).............123
§ 6. Видоизмененный метод Ньютона...............131
§ 7. Комбинированный метод...................132
§ 8. Метод итерации.......................135
§ 9. Метод итерации для системы двух уравнений........148
§ 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений........152
§ 11. Метод Ньютона для случая комплексных корней.....153
Литература к четвертой главе .................... 157
Глава V. Специальные приемы для приближенного решения алгебраических уравнений...............158
§ 1. Общие свойства алгебраических уравнений..........158
§ 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений . 163
§ 3. Метод знакопеременных сумм.................165
§ 4. Метод Ньютона.......................167
§ 5. Число действительных корней полинома...........169
§ 6. Теорема Бюдана — Фурье..................171
§ 7. Идея метода Лобачевского—Греффе.............176
§ 8. Процесс квадрирования корней ................178
§ 9. Метод Лобачевского—Греффе для случая действительных различных корней...........180
§ 10. Метод Лобачевского — Греффе для случая комплексных корней 183
§ 11. Случай пары комплексных корней..............186
§ 12. Случай двух пар комплексных корней............190
§ 13. Метод Бернулли.......................195
Литература к пятой главе ..................... 198
Глава VI. Улучшение сходимости рядов.............199
§ 1. Улучшение сходимости числовых рядов...........199
§ 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера — Абеля ............................. 205
§ 3. Оценки коэффициентов Фурье................210
§ 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье методом А.Н. Крылова.......213
§ 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов ... 222
Литература к шестой главе......................224
Глава VII. Алгебра матриц................... 225
§ 1. Основные определения....................225
§ 2. Действия с матрицами....................226
§ 3. Транспонированная матрица ................. 230
§ 4. Обратная матрица......................231
§ 5. Степени матрицы..................... 236
§ 6. Рациональные функции матрицы...............237
§ 7. Абсолютная величина и норма матрицы...........238
§ 8. Ранг матрицы........................244
§ 9. Предел матрицы.......................245
§ 10. Матричные ряды ......................247
§ 11. Клеточные матрицы.....................252
§ 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки ... 255
§ 13. Треугольные матрицы....................260
§ 14. Элементарные преобразования матриц............263
§ 15. Вычисление определителей..................264
Литература к седьмой главе.....................267
Глава VIII. Решение систем линейных уравнений.........268
§ 1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений............268
§ 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера .............................268
§ 3. Метод Гаусса........................272
§ 4. Уточнение корней .....................279
§ 5. Метод главных элементов..................281
§ 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей .. 283
§ 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса........285
§ 8. Метод квадратных корней..................287
§ 9. Схема Халецкого ......................290
§ 10. Метод итерации.......................294
§ 11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации 301
§ 12. Метод Зейделя........................303
§ 13. Случай нормальной системы.................305
§ 14. Метод релаксации.....................307
§ 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы ... 310
Литература к восьмой главе ..................... 314
Глава IX*. Сходимость итерационных процессов для систем линейных уравнений.....315
§ 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации.....315
§ 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации .... 317
§ 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя .. 320
§ 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по m-норме...........................322
§ 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя .. 323
§ 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по l-норме......325
§ 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя .. 326
Литература к девятой главе....................328
Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств.........................329
§ 1. Понятие линейного векторного пространства.........329
§ 2. Линейная зависимость векторов...............330
§ 3. Скалярное произведение векторов..............335
§ 4. Ортогональные системы векторов.............338
§ 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса .. 340
§ 6. Ортогональные матрицы...................342
§ 7. Ортогонализация матриц...................343
§ 8. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений.........351
§ 9. Пространство решений однородной системы.........356
§ 10. Линейные преобразования переменных ...........359
§ 11. Обратное преобразование..................365
§ 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы .... 367
§ 13. Подобные матрицы .....................372
§ 14. Билинейная форма матрицы.................375
§ 15. Свойства симметрических матриц..............376
§ 16*. Свойства матриц с действительными элементами ......381
Литература к десятой главе.....................385
Глава XI*. Дополнительные сведения о сходимости итерационных
процессов для систем линейных уравнений......386
§ 1. Сходимость матричных степенных рядов........... 386
§ 2. Тождество Гамильтона — Кели................ 389
§ 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации для системы линейных уравнений........... 390
§ 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зейделя для системы линейных уравнений........... 392
§ 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы ... 395
§ 6. Способы эффективной проверки условий сходимости ..... 397
Литература к одиннадцатой главе .................. 401
Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы.......402
§ 1. Вводные замечания.................... 402
§ 2. Развертывание вековых определителей ........... 402
§ 3. Метод А.М. Данилевского................. 404
§ 4. Исключительные случаи в методе А.М. Данилевского ... 410
§ 5. Вычисление собственных векторов по методу А.М. Данилевского ............................ 411
§ 6. Метод А.Н. Крылова.................... 412
§ 7. Вычисление собственных векторов по методу А.Н. Крылова 416
§ 8. Метод Леверрье....................... 417
§ 9. Понятие о методе неопределенных коэффициентов....... 419
§ 10. Сравнение различных методов развертывания векового определителя ......................... 421
§ 11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения
матрицы и соответствующего собственного вектора..... 421
§ 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы......... 428
§ 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора.431
§ 14. Метод исчерпывания..................... 434
§ 15. Нахождение собственных элементов положительно определенной симметрической матрицы.......437
§ 16. Использование коэффициентов характеристического полинома
матрицы для ее обращения................. 442
§ 17. Метод Л.А. Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения системы линейных уравнений...... 444
Литература к двенадцатой главе.................. 449
Глава XIII. Приближенное решение систем нелинейных уравнений .........................450
§ 1. Метод Ньютона.......................450
§ 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона......456
§ 3*. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона ............................460
§ 4*. Быстрота сходимости процесса Ньютона..........465
§ 5*. Единственность решения..................466
§ 6*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения...............469
§ 7. Модифицированный метод Ньютона ............471
§ 8. Метод итерации ......................474
9*. Понятие о сжимающем отображении............477
§ 10*. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации ...........................481
§ 11*. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации 483
§ 12. Метод скорейшего спуска (метод градиента).......485
§ 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений.........................490
§ 14*. Метод степенных рядов...................494
Литература к тринадцатой главе .................. 496
Глава XIV. Интерполирование функций..............497
§ 1. Конечные разности различных порядков..........497
§ 2. Таблица разностей.....................500
§ 3. Обобщенная степень....................505
§ 4. Постановка задачи интерполирования............507
§ 5. Первая интерполяционная формула Ньютона........508
§ 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона........514
§ 7. Таблица центральных разностей..............518
§ 8. Интерполяционные формулы Гаусса.............519
§ 9. Интерполяционная формула Стирлинга...........521
§ 10. Интерполяционная формула Бесселя............521
§ 11. Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом.........................524
§ 12. Интерполяционная формула Лагранжа...........527
§ 13*. Вычисление лагранжевых коэффициентов..........531
§ 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 535
§ 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона 537
§ 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул 539
§ 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования........540
§ 18. Разделенные разности ...................542
§ 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента....544
§ 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов 547
§ 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов..............550
§ 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования .........................551
§ 23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя ............................553
§ 24*. Интерполирование функций двух переменных........555
§ 25*. Двойные разности высших порядков............557
§ 26*. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух переменных .........................558
Литература к четырнадцатой главе.................561
Глава XV. Приближенное дифференцирование...........562
§ 1. Постановка вопроса................... 562
§ 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на
первой интерполяционной формуле Ньютона.........563
§ 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на
формуле Стирлинга.....................567
§ 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих
точек, выраженные через значения функции в этих точках .. 571
§ 5. Графическое дифференцирование...............574
§ 6*. Понятие о приближенном вычислении частных производных 575
Литература к пятнадцатой главе..................576
Глава XVI. Приближенное интегрирование функций .......577
§ 1. Общие замечания......................577
§ 2. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса..........580
§ 3. Формула трапеций и ее остаточный член..........582
§ 4. Формула Симпсона и ее остаточный член ..........583
§ 5. Формулы Ньютона — Котеса высших порядков........586
§ 6. Общая формула трапеций (правило трапеций)........588
§ 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) .... 589
§ 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева.........593
§ 9. Квадратурная формула Гаусса................597
§ 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул ... 604
§ 11*. Экстраполяция по Ричардсону...............607
§ 12*. Числа Бернулли......................611
§ 13*. Формула Эйлера — Маклорена...............613
§ 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов .... 618
§ 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей.....621
§ 16. Графическое интегрирование.................624
§ 17*. Понятие о кубатурных формулах..............627
§ 18*. Кубатурная формула типа Симпсона............629
Литература к шестнадцатой главе..................633
Глава XVII. Метод Монте-Карло.................634
§ 1. Идея метода Монте-Карло.................. 634
§ 2. Случайные числа...................... 635
§ 3, Способы получения случайных чисел............ 638
§ 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло .... 641
§ 5*. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом
Монте-Карло......................... 650
Литература к семнадцатой главе................ 658
Предметный указатель........................659