ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода..................... 14
Предисловие автора ........................ 14
Введение............................. 15
ТОМ ПЕРВЫЙ
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Определение последовательности................. 17
2. Монотонные последовательности.................. 19
3. Ограниченные последовательности ................ 19
4. Действия над последовательностями ............... 20
Задачи.............................. 20
ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
5. Предел монотонной последовательности.............. 21
6. Общее определение предела последовательности.......... 21
7. Частный признак сходимости................... 22
8. Действия над сходящимися последовательностями......... 23
9. Последовательности, расходящиеся к ± ∞ ........... 23
10. Теоремы о последовательностях, расходящихся к ± ∞...... 24
Задачи.............................. 24
СТРОГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
11. Отрезки последовательности ................... 25
12. Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов .... 25
13. Понятие приближения...................... 26
14. Определение предела ....................... 27
Задачи.............................. 30
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
15. Сходимость последовательностей с равными членами ....... 30
16. Независимость предела от порядка членов ............ 30
17. Сходимость подпоследовательностей................ 31
18. Предел последовательности с неотрицательными членами ..... 32
19. Предел суммы и разности последовательностей .......... 32
20. Предел произведения последовательностей ............ 34
21. Предел произведения последовательности на число........ 35
22. Предел частного двух последовательностей............ 35
22а. Предельный переход в неравенстве ............... 37
Задачи............................. 37
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
23. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей ... 37
24. Условие Коши ......................... 38
25. Ограниченность сходящихся последовательностей ........ 39
26. Теорема о пределе промежуточной переменной.......... 39
Задачи............................ 40
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ. ЧИСЛО e
27. Вычисление некоторых пределов................. 42
28. Число e = 2,71828............................. 43
ГЛАВА II
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Примеры функций. Понятие функции............... 48
2. Обозначения ........................... 49
3. Точное определение понятия функции .............. 49
4. Различные способы задания функций............... 49
5. Способы представления функций. Таблицы ............ 50
6. Графики............................. 51
Задачи.............................. 52
7. Ограниченные функции. Монотонные функции........... 52
ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
1. Определение предела функции.................. 53
2. Условие существования предела................. 54
2а. Теоремы о пределах функций................... 58
3. Действия над пределами ................... 59
ОДНОСТОРОННИЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ
4. Односторонний предел...................... 60
5. Несобственные пределы...................... 62
6. Вычисление некоторых пределов................. 64
Задачи............................ 68
ГЛАВА IV
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Определение........................... 69
2. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции ... 70
3. Геометрическая интерпретация.................. 70
4. Теорема о сохранении знака для непрерывной функции...... 71
5. Действия над непрерывными функциями............. 71
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
6. Определение........................... 71
7. Геометрическая интерпретация .................. 71
8. Непрерывность равномерно непрерывной функции......... 72
Задачи ............................. 74
9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале 74
СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
10. Определение.......................... 75
11. Непрерывность сложной функции................. 76
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
12. Определение.......................... 77
13. Геометрическая интерпретация.................. 77
14. Непрерывность обратной функции ................ 77
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
15. Степенная функция у = хn .................... 78
16. Показательная функция у = ах.................. 80
17. Логарифмическая функция y=logax............... 80
18. Тригонометрические функции................... 81
19. Обратные тригонометрические функции.............. 82
ГЛАВА V
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
1. Определение производной.................... 86
2. Односторонние производные................... 88
3. Существование производной и непрерывность .......... 88
4. Производная как функция.................... 88
5. Интерпретация производной в геометрии и физике........ 89
6. Непрерывные функции, не имеющие производной в данной точке (примеры) .................... 90
ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ
7. Производная постоянной функции................91
8. Производная степенной функции ................91
9. Производная произведения постоянной на функцию.......92
10. Производная суммы, произведения, частного ..........93
Задачи.............................95
И. Производная сложной функции.................96
12. Производная обратной функции.................96
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
13. Дифференцируемые функции. Определение дифференциала .... 98
13а. Производная сложной функции ................. 99
14. Инвариантность формы первого дифференциала ......... 100
15. Дифференциал суммы, произведения и частного......... 101
16. Геометрическая интерпретация дифференциала.......... 102
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
17. Производная степенной функции................. 103
Задачи............................. 105
18. Производная логарифмической функции............. 105
Задачи............................. 107
19. Производная показательной функции............... 107
Задачи ............................. 108
20. Производные тригонометрических функций............ 108
Задачи ............................. 110
21. Производные обратных тригонометрических функций....... 110
Задачи ............................. 113
22. Логарифмическая производная.................. 113
Задачи ............................. 114
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
23. Производные высших порядков..................114
Задачи .............................116
24. Формула Лейбница........................116
Задачи .............................118
25. Параметрическое представление функции ............ 118
Задачи ............................. 120
26. Дифференциалы высших порядков ................ 121
Задачи ............................. 124
ГЛАВА VI
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
1. Теорема о среднем значении....................127
2. Теорема Ролля .......................... 128
3. Доказательство теоремы Ролля .................. 129
4. Доказательство теоремы о среднем значении............ 129
5. Следствия из теоремы о среднем значении............. 130
6. Формула Тейлора......................... 131
7. Доказательство формулы Тейлора................. 132
Задачи.............................. 135
8. Выпуклость............................ 136
ГЛАВА VII
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ; ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЭКСТРЕМУМ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
1. Определение экстремума...................... 138
2. Необходимое условие существования экстремума..........139
3. Достаточные условия существования экстремума.......... 141
4. Более общее достаточное условие................. 143
5. Точки перегиба.......................... 145
6. Экстремумы функций, заданных параметрически.......... 147
Задачи.............................. 149
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ (РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ)
7. Неопределенности вида 0/0, ∞/∞ .................149
8. Неопределенности вида 0•∞, ∞ — ∞, 1∞, ∞0, 00..........153
Задачи..............................154
ГЛАВА VIII
РЯДЫ
РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Определение ряда. Сходящиеся ряды............... 155
2. Предел сходящейся последовательности как сумма ряда...... 156
3. Необходимое условие сходимости................. 157
4. Ограниченные ряды........................ 158
5. Абсолютно сходящиеся ряды................... 160
6. Независимость суммы ряда от порядка членов........... 161
7. Условно сходящиеся ряды.................... 162
8. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Теорема Лейбница ..................... 163
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
9. Сравнение рядов........................ 164
9а. Признак сравнения в предельной форме.............. 166
10. Признак Коши.......................... 167
П. Признак Даламбера........................ 169
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
12. Определение сходимости функциональной последовательности ... 171
13. Равномерная сходимость.................... 172
14. Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости............................ 173
15. Достаточное условие непрерывности предельной функции..... 175
16. Равномерная сходимость рядов.................. 176
17. Абсолютная и равномерная сходимость функциональных рядов ... 177
18. Дифференцирование последовательностей и рядов......... 178
19. Степенные ряды......................... 180
20. Радиус сходимости степенного ряда................ 181
21. Непрерывность суммы степенного ряда.............. 181
22. Вычисление радиуса сходимости................... 182
23. Дифференцирование степенных рядов............... 182
24. Ряд Тейлора........................... 184
Задачи.............................. 188
ГЛАВА IX
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Плоские множества. Области...................190
2. Граничные точки. Замкнутые области...............190
3. Области, задаваемые неравенствами................191
Задачи..............................191
4. Функции двух переменных....................192
5. Геометрическая интерпретация функции двух переменных.....192
6. Линии уровня ..........................193
Задачи..............................194
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
7. Определение предела.......................194
8. Теоремы о пределах.......................195
9. Непрерывность. Равномерная непрерывность...........196
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
10. Определение частных производных................ 197
И. Частные производные второго порядка.............. 198
12. Теорема об изменении порядка дифференцирования........ 199
Задачи.............................. 200
13. Частные производные высших порядков.............. 200
14. Сложная функция......................... 201
15. Частные производные сложных функций.............. 201
Задачи.............................. 203
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
16. Определение неявной функции.................. 203
17. Теорема существования неявной функции............. 204
18 Производная неявной функции.................. 205
19. Максимумы и минимумы неявных функций............ 207
Задачи.............................. 208
ГЛАВА X
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Формула Тейлора.........................210
2. Ряды Тейлора и Маклорена..................212
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
3. Определение экстремума.....................213
4. Необходимые условия существования экстремума......... 214
5. Достаточное условие существования экстремума..........214
Задачи..............................218
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
6. Дифференцируемые функции двух переменных. Определение дифференциала ............................218
7. Дифференциал сложной функции.................220
8. Применение к функциям одной переменной............220
9. Случай, когда одна из переменных является функцией другой ... 221
10. Частные дифференциалы.....................221
11. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.......................222
Задачи..............................223
12. Дифференциалы высших порядков.................224
Задачи..............................225
ГЛАВА XI
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Области.............................226
2. Функции многих переменных...................227
3 Предел. Непрерывность.....................227
4. Частные производные.......................227
5. Формула и ряд Тейлора.....................228
ТОМ ВТОРОЙ
ГЛАВА XII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1. Первообразная функция...................... 230
2. Основные формулы........................ 231
3. Некоторые свойства неопределенного интеграла.......... 232
4. Интегрирование подстановкой................... 233
5. Интегрирование по частям .................... 236
6. Интегралы от элементарных функций............... 237
7. Формулы приведения....................... 240
Задачи.............................. 242
ГЛАВА XIII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Разложение многочлена на множители...............245
2. Разложение рациональной функции на элементарные (простейшие) дроби ..............................246
3. Интегралы от рациональных функций...............251
Задачи..............................252
ГЛАВА XIV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Интегрирование простейших иррациональностей..........254
2. Биномиальные интегралы.....................255
3. Интегрирование рациональных функций R(x, у)..........256
4. Некоторые частные случаи интегралов от рациональной функции R(x, y) (y=√(ax2 + bx + c))....................259
5. Замечания о преобразовании интеграла ∫ R (х, у) dx........266
Задачи..............................270
ГЛАВА XV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Общие замечания.........................272
2. Интегралы от показательных и логарифмических функций.....273
3. Интегрирование тригонометрических функций...........276
4. Интегралы от обратных тригонометрических функций.......281
5. Примеры функции, не интегрируемых элементарно........283
Задачи..............................284
ГЛАВА XVI ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Определение определенного интеграла...............286
2. Некоторые свойства определенных интегралов...........291
3. Интегрируемость непрерывной функции..............293
4. Достаточные условия интегрируемости ..............296
5. Разбиение интервала интегрирования...............297
6. Пределы интегрирования..................... 298
7. Некоторые неравенства для определенных интегралов....... 299
8. Функция верхнего (нижнего) предела интеграла.......... 303
9. Определенный интеграл и первообразная функция......... 305
10. Интегральная теорема о среднем для непрерывных функций .... 309
Задачи.............................. 311
ГЛАВА XVII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
1. Замена переменных в определенных интегралах..........314
Задачи..............................317
2. Интегрирование по частям....................317
3. Интегрирование последовательностей и рядов...........319
4. Интегрирование степенных рядов.................322
5. Интегрирование и дифференцирование по параметру........325
Задачи..............................330
ГЛАВА XVIII
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Интеграл неограниченной функции................332
2. Интегралы в бесконечном интервале................333
3. Признаки существования несобственного интеграла........335
4. Применение к рядам.......................339
5. Равномерно сходящиеся несобственные интегралы.........342
Задачи..............................350
ГЛАВА XIX
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1. Вычисление площади.......................352
Задачи..............................353
2. Вычисление длины дуги.....................354
Задачи .............................. 358
3. Объем тела вращения......................359
Задачи..............................360
4. Площадь поверхности вращения.................361
Задачи..............................364
ГЛАВА XX
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
1. Определение двойного интеграла по прямоугольнику....... 365
2. Достаточные условия интегрируемости .............. 368
3. Двойной интеграл как повторный................. 369
За. Некоторые свойства двойных интегралов по прямоугольнику ... 372
4. Двойной интеграл по области ................ 374
5. Свойства двойного интеграла по области ............. 377
5а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о среднем..... 377
6. Двойной интеграл по области как повторный...........379
Задачи.............................. 385
ГЛАВА XXI
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Простая дуга.......................387
2. Криволинейный интеграл по простой дуге............388
3. Криволинейный интеграл по произвольной кривой........392
4. Работа как криволинейный интеграл...............394
5. Замкнутая кривая........................396
6. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой..........398
7. Криволинейные интегралы по замкнутым плоским кривым .... 399
8. Теорема (формула) Грина.....................400
9. Применения теоремы Грина...................402
ГЛАВА XXII
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
1. Отображения..........................409
2. Непрерывные отображения. Взаимнооднозначные отображения .. 410
3. Функциональный определитель (якобиан).............411
Задачи..............................416
4. Замена переменных в двойных интегралах............416
Задачи..............................422
ГЛАВА XXIII
МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Тройной интеграл....................... 424
2. Многократный интеграл.....................425
3. Условия интегрируемости.....................426
4. Многократный интеграл как повторный..............426
5. Многократный интеграл по области................427
6. Многократный интеграл по области как повторный........428
Задачи.............................430
Предметный указатель...................431
(“Дифференциальное и интегральное исчисление” С. Банах 1966)
Эту книгу Вы можете скачать на www.librus.ru