Содержание
От переводчиков 14
Из предисловия автора к первому немецкому изданию 16
Из предисловия автора к первому английскому изданию 17
Предисловие автора ко второму английскому изданию 18
Из предисловия автора к третьему немецкому изданию 18
Вводные замечания 19
Глава I. Подготовительный материал 21
§ 1. Числовой континуум 21
§ 2. Понятие функции 29
§ 3. Обзор элементарных функций 37
§ 4. Функции целочисленной переменной. Числовые последовательности. Полная индукция 42
§ 5. Понятие предела последовательности чисел. Примеры 46
§ 6. Более точное рассмотрение понятия предела 56
§ 7. Понятие предела функции непрерывной переменной 68
§ 8. Понятие непрерывности 73
Дополнение I к главе I 79
Предварительные замечания 79
§ 1. Принцип точки сгущения и его приложения 80
§ 2. Теоремы о непрерывных функциях 86
§ 3. Некоторые замечания об элементарных функциях 91
Дополнение II к главе I 94
§ 1. Полярные координаты 94
§ 2. Некоторые замечания о комплексных числах 95
Смешанные упражнения к главе I 97
Глава II. Основные понятия интегрального и дифференциального исчисления 102
§ 1. Определенный интеграл 102
§ 2. Примеры 108
§ 3. Производная 114
§ 4. Неопределенный интеграл, первообразная функция и основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления 136
§ 5. Простейшие методы графического интегрирования 146
§ 6. Дальнейшие замечания о связи между интегралом и производной 149
§ 7. Оценка интегралов и теорема о среднем значении интегрального исчисления 153
Дополнение к главе II 159
§ 1. Доказательство существования определенного интеграла от непрерывной функции 159
§ 2. Связь между теоремами о среднем значении дифференциального и интегрального исчисления 161
Смешанные упражнения к главе II 163
Глава III. Дифференцирование и интегрирование элементарных функций 166
§ 1. Простейшие правила дифференцирования и их применение 166
§ 2. Соответствующие формулы интегрирования 170
§ 3. Обратная функция и ее производная 173
§ 4. Дифференцирование сложной функции 181
§ 5. Максимумы и минимумы 187
§ 6. Логарифмическая и показательная функции 197
§ 7. Некоторые приложения показательной функции 207
§ 8. Гиперболические функции 212
§ 9. Порядок роста и порядок малости функций 218
Дополнения к главе III 223
§ 1. Рассмотрение некоторых конкретных функции 223
§ 2. Замечания относительно дифференцируемости функций 226
§ 3. Различные частные вопросы 228
Смешанные упражнения к главе III 230
Глава IV. Дальнейшее построение интегрального исчисления 234
§ 1. Таблица элементарных интегралов 235
§ 2. Метод замены переменной (метод подстановки) 237
§ 3. Дальнейшие примеры интегрирования методом замены переменной 243
§ 4. Интегрирование произведения (интегрирование по частям) 248
§ 5. Интегрирование рациональных функций 267
§ 6. Интегрирование некоторых других классов функций 275
§ 7. Замечания относительно функций, неинтегрирующихся в элементарных функциях 282
§ 8. Обобщение понятия интеграла. Несобственные интегралы 285
Дополнительные упражнения к главе IV 296
Дополнение к главе IV. Вторая теорема о среднем значении в интегральном исчислении 297
Смешанные упражнения к главе IV 299
Глава V. Приложения 302
§ 1. Аналитическое задание кривой 302
§ 2. Приложения к теории плоских кривых 311
§ 3. Примеры 331
§ 4. Простейшие задачи механики точки 335
§ 5. Дальнейшие приложения. Падение материальной точки по заданной кривой 342
§ 6. Работа и энергия 347
Дополнения к главе V 351
§ 1. Свойства эволюты 351
§ 2. Площади фигур, ограниченных замкнутыми кривыми 357
Глава VI. Формула Тэйлора и приближение функций многочленами 362
§ 1. Логарифм и арктангенс 362
§ 2. Формула Тэйлора 366
§ 3. Приложения. Разложение элементарных функций в ряд Тэйлора 373
§ 4. Нули и бесконечности функции. "Неопределенные выражения" 378
§ 5. Приложения к геометрии 381
Дополнения к главе VI 385
§ 1. Пример функции, не разлагающейся в ряд Тэйлора 385
§ 2. Общая теорема о разложимости в ряд Тэйлора функции, имеющей неотрицательные производные любого порядка. Биномиальный ряд 386
§ 3. Приближение произвольных непрерывных функций многочленами и
тригонометрическими суммами 389
§ 4. Задача интерполирования и ее связь с формулой Тэйлора 394
Смешанные упражнения к главе VI 400
Глава VII. О методах приближенного вычисления 403
Предварительные замечания 403
§ 1. Численное интегрирование 403
§ 2. Применения теоремы о среднем значении и формулы Тэйлора 409
§ 3. Численное решение уравнений 415
Дополнение к главе VII. Формула Стерлинга 422
Смешанные упражнения к главе VI 425
Глава VIII. Бесконечные ряды и другие предельные процессы 427
Предварительные замечания 427
§ 1. Понятие сходимости и расходимости 428
§ 2. Исследование сходимости и расходимости ряда 438
§ 3. Последовательности функций и ряды функций 445
§ 4. Равномерная и неравномерная сходимость 448
§ 5. Степенные ряды 459
§ 6. Разложение заданных функций в степенные ряды. Метод неопределенных коэффициентов. Примеры 465
§ 7. Степенные ряды с комплексными членами 471
Дополнения к главе VIII 474
§ 1. Умножение и деление рядов 474
§ 2. Предельные переходы, связанные с показательной функцией 481
§ 3. Бесконечные ряды и несобственные интегралы 484
§ 4. Бесконечные произведения 486
§ 5. Дальнейшие примеры бесконечных рядов (различные разложения в степенной ряд) 489
Смешанные упражнения к главе VIII 493
Глава IX. Ряды Фурье 498
§ 1. Периодические функции 498
§ 2. Применение комплексной записи 506
§3. Ряд Фурье 510
§ 4. Примеры разложения в ряд Фурье 513
§ 5. Доказательство разложимости функции в ряд Фурье 522
§ 6. Приближение в среднем с помощью тригонометрических многочленов 533
Дополнения к главе IX 538
§ 1. Многочлены Бернулли и их приложения 538
§ 2. Интегрирование ряда Фурье 551
Глава X. Очерк теории функций многих переменных 553
§ 1. Понятие функции многих переменных 553
§ 2. Непрерывность 558
§ 3. Производные от функции многих переменных 561
§ 4. Сложные функции и их дифференцирование (правило цепочки).
Преобразование независимых переменных. Дифференцирование обратных функций 567
§ 5. Неявные функции 574
§ 6. Двойные и повторные интегралы 580
Глава XI. Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях.
Простейшие колебания 596
§ 1. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, решаемые с помощью квадратур 597
§ 2. Дифференциальное уравнение второго порядка; его общее решение и частные решения. Неполные уравнения второго порядка 606
§ 3. Дифференциальное уравнение колебаний в механике и физике 610
§ 4. Решение линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части. Свободное движение 613
§ 5. Линейное уравнение с правой частью. Вынужденное движение 619
Дополнительные упражнения к главе XI 628
Приложение. Действительные числа и понятие предела 630
Сводка важнейших теорем и формул 643
Ответы и указания 660
Предметный указатель 701
(“Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1-2” Курант Р. 1978)
Эту книгу Вы можете скачать на www.librus.ru