ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................................................................... 3
Введение ............................................................................................................. 5
Раздел I. Статика.............................................................................................. 8
Глава 1. Основные понятия и аксиомы. Сходящиеся силы.................... 8
§ 1. Основные понятия и определения................................................. 8
§ 2. Аксиомы статики.............................................................................. 10
§ 3. Простейшие теоремы статики........................................................ 15
§ 4. Система сходящихся сил................................................................. 17
Приведение к равнодействующей силе......................................... 17
Условия равновесия системы сходящихся сил........................... 19
Проецирование силы на оси координат...................................... 20
Глава 2. Моменты силы относительно точки и оси................................ 24
§ 1. Алгебраический момент силы относительно точки................... 24
§ 2. Векторный момент силы относительно точки........................... 25
§ 3. Момент силы относительно оси................................................... 27
§ 4. Связь момента силы относительно оси с векторным моментом
силы относительно точки на оси................................................. 28
§ 5. Формулы для моментов силы относительно осей координат....... 29
Глава 3. Теория пар сил................................................................................. 30
§ 1. Пара сил и алгебраический момент пары сил......................... 30
§ 2. Теорема об эквивалентности двух пар сил, расположенных в одной плоскости....32
§ 3. Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость............. 33
§ 4. Векторный момент пары сил......................................................... 34
§ 5. Эквивалентность пар сил.......:........................................................ 35
§ 6. Теорема о сумме моментов сил пары....................................... 35
§ 7. Сложение пар сил............................................................................ 36
§ 8. Условия равновесия пар сил.......................................................... 38
Глава 4. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия
равновесия .......................................................................................... 40
§ 1. Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил............ 40
Приведение силы к заданному центру........................................ 40
Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил............ 41
Приведение плоской системы сил................................................. 43
Формулы для вычисления главного вектора и главного момента .................................................................................................. 43
§ 2. Условия равновесия системы сил.................................................. 45
Условия равновесия системы сил в векторной форме............ 45
Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме......................... 45
Условия равновесия пространственной системы параллельных сил ............ 46
Условия равновесия плоской системы сил................................. 47
Глава 5. Плоская система сил. Теорема Вариньона................................. 48
§ 1. Частные случаи приведения плоской системы сил................... 48
Случай приведения к равнодействующей силе........................... 48
Случай приведения к паре сил..................................................... 49
§ 2. Теорема о моменте равнодействующей силы (теорема Вариньона)................................... 50
§ 3. Различные формы условий равновесия плоской системы сил....... 51
Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия) .... 52
Третья форма условий равновесия............................................... 53
§ 4. Статически определимые и статически неопределимые задачи..... 54
§ 5. Равновесие системы сил.................................................................. 55
§ 6. Распределенные силы........................................................................ 56
Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой линии.... 57
Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону............. 58
Реакция заделки................................................................................. 60
§ 7. Решение задач на равновесие плоской системы сил, приложенных к твердому телу и системе тел........................................... 61
Глава б. Трение.................................................................................................. 66
§ 1. Трение скольжения............................................................................ 66
Законы Кулона.................................................................................. 68
Угол и конус трения....................................................................... 69
Равновесие тела на шероховатой поверхности........................... 70
§ 2. Трение качения.................................................................................. 73
Глава 7. Частные случаи пространственных систем сил. Центр параллельных сил................... 77
§ 1. Изменение главного момента при перемене центра приведения ... 77
§ 2. Инварианты системы сил................................................................ 78
§ 3. Частные случаи приведения пространственной системы сил........ 79
§ 4. Уравнение центральной винтовой оси.......................................... 83
§ 5. Частные случаи приведения пространственной системы параллельных сил....................... 87
§ 6. Центр системы параллельных сил................................................ 88
§ 7. Частные случаи равновесия твердого тела................................. 91
Равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками......... 91
Твердое тело с одной закрепленной точкой.............................. 92
Глава 8. Центр тяжести................................................................................... 93
§ 1. Определения и формулы для вычисления центров тяжести.......... 93
§ 2. Методы определения центров тяжести (центров масс)............ 96
§ 3. Центры тяжести простейших тел.................................................. 98
Раздел II. Кинематика...................................................................................... 103
Введение.............................................................................................................. 103
Глава 1. Кинематика точки............................................................................. 104
§ 1. Скорость точки.................................................................................. 104
§ 2. Ускорение точки................................................................................ 106
§ 3. Векторный способ изучения движения......................................... 107
§ 4. Координатный способ изучения движения.................................. 108
Задание движения и траектория.................................................... 108
Скорость в декартовых координатах........................................... 109
Уравнение годографа вектора скорости....................................... 110
Ускорение точки в декартовых координатах.............................. 111
§ 5. Естественный способ изучения движения..................................... 113
Естественный способ задания движения...................................... 113
Скорость точки при естественном способе задания движения ...... 114
Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора ................................. 115
Ускорение точки при естественном способе задания движения .... 118
Частные случаи движения точки................................................... 121
§ 6. Скорость и ускорение точки в полярных координатах........... 122
§ 7. Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах........ 126
§ 8. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах......... 128
§ 9. Скорость и ускорение в сферических координатах......... 132
Глава 2. Простейшие движения твердого тела. Сложное движение точки ... 133
§ 1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей............... 133
§ 2. Поступательное движение твердого тела..................................... 135
§ 3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси................... 136
Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.......... 136
Частные случаи вращения твердого тела................................... 138
Скорости и ускорения точек тела................................................ 139
Векторы угловой скорости и углового ускорения.................... 141
Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела......... 142
§ 4. Сложное движение точки................................................................ 144
Основные понятия............................................................................. 144
Сложение скоростей.......................................................................... 145
Сложение ускорений при поступательном переносном движении .................................... 147
Глава 3. Плоское движение твердого тела.................................................. 148
§ 1. Уравнения плоского движения твердого тела............................ 149
§ 2. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное..150
§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении .................... 152
§ 4. Скорости точек тела при плоском движении............................ 153
§ 5. Мгновенный центр скоростей......................................................... 155
§ 6. Вычисление угловой скорости при плоском движении............ 158
§ 7. Ускорения точек тела при плоском движении.......................... 159
§ 8. Мгновенный центр ускорений......................................................... 162
§ 9. Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении ........ 166
§ 10. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры................ 172
§ П. Мгновенный центр вращения. Центроиды................................... 173
Глава 4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Общий
случай движения тела...................................................................... 176
§ 1. Углы Эйлера. Уравнения вращения твердого тела вокруг
неподвижной точки........................................................................... 176
§ 2. Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего
одну неподвижную точку................................................................ 179
§ 3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды............................................ 180
§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение при вращении тела
вокруг неподвижной точки.............................................................. 181
§ 5. Скорости точек тела при вращательном движении вокруг
неподвижной точки........................................................................... 182
§ 6. Ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной точки ................... 184
§ 7. Вычисление углового ускорения..................................................... 186
§ 8. Общий случай движения свободного твердого тела................ 189
Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и вращательное............. 189
Уравнения движения свободного твердого тела........................ 191
Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае............... 192
Глава 5. Сложное движение точки в общем случае................................. 195
§ 1. Абсолютная и относительная производные от вектора. Формула Бура ........195
§ 2. Сложение скоростей.......................................................................... 197
§ 3. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения .............................. 198
§ 4. Ускорение Кориолиса....................................................................... 200
Глава 6. Сложение движений твердого тела............................................... 204
§ 1. Сложение поступательных движений твердого тела................. 205
§ 2. Сложение вращательных движений твердого тела.................... 206
§ 3. Сложение поступательного и вращательного движений........... 213
§ 4. Статические аналогии в кинематике............................................. 218
Глава 7. Основы кинематики сплошной среды.......................................... 219
§ 1. Переменные Лагранжа и Эйлера.................................................. 219
§ 2. Распределение скоростей в малой окрестности точки пространства ......................... 225
§ 3. Линии и трубки тока...................................................................... 229
§ 4. Поток и циркуляция вектора скорости....................................... 230
Раздел III. Динамика........................................................................................ 235
Глава 1. Основные положения динамики и уравнения движения точки....... 235
§ 1. Введение ............................................................................................ 235
§ 2. Основные аксиомы классической механики................................. 236
§ 3. Системы единиц................................................................................ 240
§ 4. Дифференциальные уравнения движения материальной точки..... 241
§ 5. Две основные задачи динамики точки........................................ 243
§ 6. Основные виды прямолинейного движения точки..................... 247
§ 7. Криволинейное движение материальной точки........................... 251
§ 8. Движение несвободной материальной точки............................... 255
Движение точки по поверхности................................................... 256
Движение точки по гладкой кривой линии................................ 257
Глава 2. Относительное движение материальной точки........................... 260
§ 1. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки............ 260
§ 2. Частные случаи.................................................................................. 262
§ 3. Движение точки относительно Земли........................................... 264
§ 4. Невесомость ....................................................................................... 269
Глава 3. Геометрия масс................................................................................. 272
§ 1. Центр масс......................................................................................... 272
§ 2. Моменты инерции............................................................................. 274
Моменты инерции относительно точки и оси........................... 274
Моменты инерции относительно осей координат..................... 275
§ 3. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей
(теорема Штейнера).......................................................................... 276
§ 4. Моменты инерции простейших однородных тел....................... 278
Однородный стержень...................................................................... 278
Прямоугольная пластина................................................................. 279
Круглый диск..................................................................................... 280
Круглый цилиндр.............................................................................. 280
Шар ..................................................................................................... 281
§ 5. Моменты инерции относительно осей, проходящих через заданную точку....................... 282
§ 6. Эллипсоид инерции........................................................................... 284
§ 7. Свойства главных осей инерции.................................................... 285
§ 8. Определение главных моментов инерции и направления главных осей ...... 288
§ 9. Выражение компонентов тензора инерции через главные моменты инерции.................. 290
Глава 4. Общие теоремы динамики точки и системы 293
§ 1. Простейшие свойства внутренних сил системы......................... 293
§ 2. Дифференциальные уравнения движения системы...................... 294
§ 3. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс......... 296
Количество движения точки и системы...................................... 296
Вычисление количества движения системы.................................. 296
Элементарный и полный импульсы силы................................... 297
Теорема об изменении количества движения точки................. 297
Теорема об изменении количества движения системы............. 298
Законы сохранения количества движения .................................... 300
Теорема о движении центра масс системы................................ 302
Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела......................... 306
§ 4. Теорема об изменении кинетического момента......................... 306
Кинетический момент точки и системы...................................... 306
Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.................................................. 308
Теорема об изменении кинетического момента точки............. 309
Теорема об изменении кинетического момента системы......... 310
Законы сохранения кинетических моментов................................ 312
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси....... 314
Движение точки под действием центральной силы. Теорема площадей ............. 315
Теорема об изменении кинетического момента системы в
относительном движении по отношению к центру масс........ 318
Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела ......320
Теорема Резаля.................................................................................. 322
§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии............................ 323
Работа силы....................................................................................... 323
Примеры вычисления работы силы.............................................. 326
Кинетическая энергия....................................................................... 333
Теорема об изменении кинетической энергии точки................ 336
Теорема об изменении кинетической энергии системы............ 338
Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении ........ 341
§ 6. Потенциальное силовое поле.......................................................... 343
Потенциальное силовое поле и силовая функция..................... 343
Поверхности уровня. Силовые линии ........................................... 346
Потенциальная энергия.................................................................... 347
Примеры вычисления силовых функций...................................... 348
Силовая функция и потенциальная энергия системы............... 350
§ 7. Закон сохранения механической энергии...................................... 351
Закон сохранения механической энергии точки.......................... 351
Закон сохранения механической энергии системы..................... 351
Глава 5. Принцип Даламбера. Динамические реакции при вращении тела
вокруг неподвижной оси................................................................. 359
§ 1. Принцип Даламбера......................................................................... 359
Принцип Даламбера для материальной точки.......................... 359
Принцип Даламбера для системы материальных точек.......... 362
Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения .... 366
§ 2. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси........ 370
Формулы для реакций..................................................................... 370
Статическая уравновешенность....................................................... 375
Динамическая уравновешенность................................................... 376
Глава 6. Аналитическая механика.................................................................. 381
§ 1. Связи и их классификация............................................................. 382
§ 2. Возможные перемещения................................................................. 384
§ 3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи....................... 385
§ 4. Принцип возможных перемещений................................................ 387
§ 5. Обобщенные координаты системы................................................ 391
§ 6. Обобщенные силы............................................................................. 394
§ 7. Условия равновесия системы.......................................................... 396
§ 8. Общее уравнение динамики............................................................ 399
§ 9. Уравнения Лагранжа........................................................................ 407
§ 10. Канонические уравнения................................................................... 416
Глава 7. Теория колебаний............................................................................. 418
§ 1. Устойчивость положения равновесия............................................ 419
Определение устойчивости положения равновесия ..................... 419
Теорема Лагранжа — Дирихле......................................................... 421
§ 2. Колебания системы с одной степенью свободы....................... 425
Собственные линейные колебания системы................................. 426
Влияние линейного сопротивления на малые собственные
колебания системы с одной степенью свободы........................ 434
Вынужденные колебания системы без учета сопротивления......... 446
Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания ... 456
§ 3. Математический и физический маятники..................................... 465
§ 4. Малые колебания системы с двумя степенями свободы (результаты для общего случая). 469
Кинетическая энергия....................................................................... 469
Потенциальная энергия.................................................................... 472
Диссипативная функция.................................................................... 473
Дифференциальные уравнения собственных колебаний............. 474
Интегрирование дифференциальных уравнений. Уравнение частот ............ 475
Главные координаты........................................................................ 478
Влияние линейного сопротивления на собственные колебания..... 481
Вынужденные колебания без учета сопротивления.................... 483
Влияние линейного сопротивления на вынужденные колебания ... 485
Глава 8. Динамика твердого тела с одной закрепленной точкой.................. 489
§ 1. Кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной точки ................... 490
§ 2. Кинетическая энергия тела с одной закрепленной точкой............. 492
§ 3. Динамические уравнения Эйлера................................................... 495
§ 4. Кинематические уравнения Эйлера ................................................ 496
§ 5. Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки.
Случаи интегрируемости.................................................................. 499
§ 6. Астатический гироскоп..................................................................... 500
§ 7. Движение гироскопа под действием силы тяжести.................. 504
§ 8. Приближенная теория гироскопа................................................... 510
Основные допущения приближенной теории............................... 510
Особенности движения оси гироскопа.......................................... 511
Гироскопический момент................................................................. 513
Техническое применение гироскопа............................................... 515
Прецессия тяжелого гироскопа по приближенной теории....... 516
§ 9. Регулярная прецессия гироскопа.................................................... 518
Гироскопический момент при регулярной прецессии................ 518
Регулярная прецессия по инерции................................................. 520
Регулярная прецессия тяжелого гироскопа.................................. 520
§ 10. Устойчивость вращения твердого тела с одной закрепленной
точкой вокруг главных осей инерции.......................................... 521
Глава 9. Теория удара..................................................................................... 523
§ 1. Основные положения и понятия теории удара......................... 523
§ 2. Теоремы об изменении количества движения и о движении
центра масс для удара. Теорема Кельвина............................... 525
§ 3. Теорема об изменении кинетического момента при ударе............ 527
§ 4. Удар точки о неподвижную поверхность................................... 529
§ 5. Теорема Карно.................................................................................. 532
§ 6. Удар двух тел................................................................................... 534
§ 7. Центр удара....................................................................................... 543
Глава 10. Элементы теории космических движений.................................. 546
§ 1. Введение ............................................................................................. 546
§ 2. Задача Ньютона................................................................................ 547
§ 3. Движение точки переменной массы.............................................. 552
Дифференциальные уравнения движения точки переменной массы ............... 552
§ 4. Задачи Циолковского........................................................................ 555
Первая задача Циолковского......................................................... 555
Вторая задача Циолковского.......................................................... 557
Глава 11. Введение в динамику сплошной среды...................................... 558
§ 1. Уравнение неразрывности................................................................ 558
§ 2. Силы объемные и поверхностные................................................. 560
§ 3. Свойства поверхностных сил.......................................................... 561
§ 4. Тензор напряжений........................................................................... 563
§ 5. Уравнения движения сплошной среды в напряжениях............. 564
§ 6. Симметричность тензора напряжений........................................... 566
§ 7. Эллипсоид напряжений..................................................................... 568
§ 8. Реологическое уравнение.................................................................. 570
§ 9. Модели жидкостей и уравнения движения................................. 574
§ 10. Критерии подобия при обтекании твердых тел потоком вязкой
несжимаемой жидкости.................................................................... 578
§11. Установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в
круглой цилиндрической трубе....................................................... 581
§ 12. Распространение малых возмущений в идеальном газе. Скорость звука ................ 585
§ 13. Одномерное установившееся течение газа вдоль трубы переменного сечения................ 589
Приложение ....................................................................................................... 593
1. Новая форма основных аксиом................................................................ 593
2. Системы отсчета .......................................................................................... 595