СОДЕРЖАНИЕ
От редакции................................ 5
НОВЫЕ МЕТОДЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
I
Введение................................ 9
Глава I. Общие положения и метод Якоби ............. 13
Общие положения...................... 13
Примеры канонических уравнений............... 14
Первая теорема Якоби.................... 18
Вторая теорема Якоби; замена переменных........... 19
Замечательные замены переменных............... 20
Кеплеровское движение.................... 23
Частный случай задачи трех тел................ 25
Использование кеплеровских переменных........... 28
Общий случай задачи трех тел................ 29
Основная задача динамики................... 34
Приведение канонических уравнений............. 35
Приведение задачи трех тел.................. 38
Вид возмущающей функции.................. 41
Инвариантные соотношения................. 44
Глава II. Интегрирование с помощью рядов.............. 47
Определения и леммы.................... 47
Теорема Коши....................... 50
Обобщение теоремы Коши.................. 55
Приложения к задаче трех тел................. 58
Использование тригонометрических рядов ........... 60
Неявные функции ...................... 64
Алгебраические особые точки................. 65
Исключение......................... 67
Теорема о максимумах.................... 69
Новые определения..................... 71
Глава III. Периодические решения.................. 73
Случай, когда время не входит явно в уравнения....... 81
Приложение к задаче трех тел................ 86
Решения первого сорта.................. 88
Исследования Хилла по теории Луны............. 93
Приложение к основной задаче динамики........... 98
Случай, когда гессиан равен нулю............... 104
Прямое вычисление рядов................... 107
Прямое доказательство сходимости.............. 114
Изучение важного исключительного случая........... 118
Решения второго сорта................... 124
Решения третьего сорта................... 128
Приложения периодических решений.............. 135
Спутники Юпитера...................... 137
Периодические решения вблизи положения равновесия..... 138
Луны без квадратуры.................... 141
Глава IV. Характеристические показатели............... 143
Уравнения в вариациях................... 143
Приложение к теории Луны.................. 145
Уравнения в вариациях в динамике.............. 146
Применение теории линейных подстановок............ 152
Определение характеристических показателей......... 155
Уравнение, определяющее характеристические показатели ... 157
Случай, когда время не входит явно............. 158
Новая формулировка теоремы пунктов 37 и 38......... 159
Случай, когда уравнения допускают однозначные интегралы .. 162
Случай уравнений динамики.................. 170
Замена переменных..................... 175
Разложение показателей. Вычисление первых членов...... 177
Приложение к задаче трех тел................ 191
Полное вычисление характеристических показателей..... 192
Вырождающиеся решения................... 201
Глава V. Несуществование однозначных интегралов.......... 205
Случай, когда В обращается в нуль.............. 211
Случай, когда гессиан равен нулю............... 215
Приложение к задаче трех тел................ 219
Задачи динамики, в которых существует однозначный интеграл 222
Интегралы, не голоморфные относительно µ........... 227
Исследование выражений (14) п. 84.............. 228
Глава VI. Приближенное разложение возмущающей функции...... 234
Формулировка задачи.................... 234
Отступление об одном свойстве возмущающей функции..... 236
Основы метода Дарбу.................... 241
Обобщение на случай нескольких переменных......... 243
Отыскание особых точек................... 247
Исследование........................ 254
Исследование в общем случае................. 263
Применение метода Дарбу.................. 269
Применение к астрономии................... 278
Применение к доказательству несуществования однозначных интегралов.......................... 278
Глава VII. Асимптотические решения.................. 286
Сходимость рядов...................... 289
Асимптотические решения уравнений динамики......... 293
Разложение решений в ряд по степеням √µ........... 294
Расходимость рядов п. 108 ............... 299
Новое доказательство предложения п. 108........... 301
Преобразования уравнений.................. 309
Приведение к каноническому виду.............. 314
Вид функций Vi........................ 316
Фундаментальная лемма................... 318
Аналогия между рядами п. 108 и рядами Стирлинга ..... 322
НОВЫЕ МЕТОДЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ II
Предисловие ............................. 329
Употребляемые обозначения...................... 331
Глава VIII. Исчисление асимптотических рядов............. 332
Различный смысл слова сходимость.............. 332
Ряды, аналогичные рядам Стирлинга............. 333
Исчисление асимптотических рядов.............. 335
Глава IX. Методы Ньюкома и Линдштедта............... 344
Исторический очерк..................... 344
Изложение метода...................... 346
Различные виды рядов.................... 351
Прямое вычисление рядов.................. 355
Сравнение с методом Ньюкома................. 361
Глава X. Применение рассмотренных методов к исследованию вековых
возмущений......................... 364
Постановка задачи...................... 364
Новая замена переменных................... 366
Применение метода главы IX................. 370
Глава XI. Применение к задаче трех тел ............... 372
Трудность задачи....................... 372
Обобщение метода главы IX на некоторые особые случаи .... 373
Применение к задаче трех тел................. 380
Замена переменных..................... 381
Случай плоских орбит .................... 382
Исследование одного частного интеграла........... 388
Вид разложений....................... 390
Общий случай задачи трех тел................. 392
Глава XII. Применение к исследованию орбит с малыми эксцентриситетами 395
Трудность задачи ..................... 395
Устранение трудности.................... 402
Глава XIII. Расходимость рядов Линдштедта............... 412
Исследование рядов (3).................... 413
Исследование рядов (2).................... 417
Сравнение со старыми методами................ 421
Глава XIV. Прямое вычисление рядов.................. 427
Применение к задаче трех тел................. 440
Различные свойства..................... 450
Замечательные частные случаи................ 462
Выводы........................... 467
Глава XV. Другие методы прямых вычислений............. 468
Задача из п. 125...................... 468
Другой пример........................ 471
Задача п. 134........................ 479
Задача трех тел ....................... 486
Глава XVI. Методы Гильдена...................... 509
Сведение рассматриваемых уравнений к уравнениям второго
порядка.......................... 517
Промежуточная орбита.................... 526
Абсолютная орбита...................... 527
Глава XVII. Случай линейных уравнений ................ 530
Исследование уравнения Гильдена............... 530
Метод Якоби......................... 547
Метод Гильдена....................... 550
Метод Брунса........................ 552
Метод Линдштедта...................... 554
Метод Хилла........................ 55В
Применение теоремы Адамара................. 563
Различные замечания.................... 571
Обобщение предыдущих результатов.............. 572
Глава XVIII. Случай нелинейных уравнений................ 576
Уравнения с правой частью.................. 576
Уравнение эвекции..................... 579
Уравнение вариации..................... 594
Выводы........................... 599
Обобщение периодических решений.............. 600
Глава XIX. Методы Болина....................... 604
Метод Делоне........................ 604
Метод Болина........................ 628
Случай либрации....................... 636
Предельный случай..................... 648
Связь с рядами п. 125..................... 663
Расходимость рядов..................... 667
Глава XX. Ряды Болина....................... 673
Случай либрации....................... 677
Предельный случай..................... 682
Сравнение с рядами п. 127................... 693
Глава XXI. Обобщение метода Болина .................. 701
Обобщение задачи п. 134................... 701
Обобщение на случай задачи трех тел.............. 709
Исследование рядов...................... 712
Второй метод........................ 716
Случай либрации...................... 720
Расходимость рядов..................... 723
Комментарии ............................... 745