Оглавление

Предисловие к третьему изданию......5

Предисловие к первому изданию ..... 8

Некоторые постоянно употребляемые обозначения 10

Глава 1. Основные понятия....... 11

§ 1. Фазовые пространства.............. 11

§ 2. Векторные поля на прямой........... 30

§ 3. Линейные уравнения............... 40

§ 4. Фазовые потоки............... 48

§ 5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на поля направлений 55

§ 6. Симметрии .... 63

Глава 2. Основные теоремы . 73

§ 7. Теоремы о выпрямлении....... 73

§ 8. Применения к уравнениям выше первого порядка 85

§ 9. Фазовые кривые автономной системы .... 95

§ 10. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы 99

§ 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными производными ..... 105

§ 12. Консервативная система с одной степенью свободы 112

Глава 3. Линейные системы .... 124

§ 13. Линейные задачи .... 124

§ 14. Показательная функция........ 126

§ 15. Свойства экспоненты........... 132

§ 16. Определитель экспоненты........... 137

§ 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты — случай вещественных и

различных собственных чисел........... 140

§ 18. Комплексификация и овеществление..... 143

§ 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством 146

§ 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения 150

§ 21. Классификация особых точек линейных систем .. 158

§ 22. Типологическая классификация особых точек 161

§ 23. Устойчивость положений равновесия .. 170

§ 24. Случай чисто мнимых собственных чисел 174

§ 25. Случай кратных собственных чисел . 179

§ 26. О квазимногочленах....... 186

§ 27. Линейные неавтономные уравнения..... 196

§ 28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами 208

§ 29. Вариация постоянных .. 214

Глава 4. Доказательства основных теорем............... 216

§ 30. Сжатые отображения..................... 216

§ 31. Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от 

начальных условий ..................... 217

§ 32. Теорема о дифференцируемости................. 225

Глава 5. Дифференциальные уравнения на многообразиях......... 233

§ 33. Дифференцируемые многообразия................ 233

§ 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии....... 241

§ 35. Фазовый поток, заданный векторным полем............. 247

§ 36. Индексы особых точек векторного поля.............. 250

Программа экзамена....................... 262

Образцы экзаменационных задач................... 263

Предметный указатель...................... 268