Содержание

Предисловие ............................. 5

Некоторые используемые обозначения ............ 9

Глава 1. Специальные уравнения................ 11

§ 1. Дифференциальные уравнения, инвариантные относительно групп симметрий...........11

§ 2. Разрешение особенностей дифференциальных уравнений 19

§ 3. Уравнения, не разрешенные относительно производных . 25

§4. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности регулярной особой точки.............................. 37

§ 5. Стационарное уравнение Шредингера ........... 44

§ 6. Геометрия дифференциального уравнения второго порядка и геометрия пары полей направлений в трехмерном пространстве.......................... 57

Глава 2. Уравнения с частными производными первого порядка ................................ 75

§ 7. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка........ 75

§ 8. Нелинейное уравнение с частными производными первого порядка........................... 85

§ 9. Теорема Фробениуса..................... 104

Глава 3. Структурная устойчивость.............. 108

§ 10. Понятие структурной устойчивости............ 109

§ 11. Дифференциальные уравнения на торе........... 117

§ 12. Аналитическое приведение к повороту аналитических диффеоморфизмов окружности............... 136

§ 13. Введение в гиперболическую теорию............ 144

§ 14. У-системы........................... 151

§ 15. Структурно устойчивые системы не всюду плотны ... 166

Глава 4. Теория возмущений .................. 169

§ 16. Метод усреднения....................... 170

§ 17. Усреднение в одночастотных системах........... 174

§ 18. Усреднение в многочастотных системах.......... 179

§ 19. Усреднение в гамильтоновых системах........... 192

§ 20. Адиабатические инварианты................. 196

§ 21. Усреднение в слоении Зейферта............... 202

Глава 5. Нормальные формы .................. 209

§ 22. Формальное приведение к линейной нормальной форме . 209

§ 23. Резонансный случай ..................... 213

§ 24. Области Пуанкаре и Зигеля................. 217

§ 25. Нормальная форма отображения в окрестности неподвижной точки......................... 223

§ 26. Нормальная форма уравнения с периодическими коэффициентами ............................ 226

§ 27. Нормальная форма окрестности эллиптической кривой . 235

§ 28. Доказательство теоремы Зигеля............... 250

Глава 6. Локальная теория бифуркаций ........... 258

§ 29. Семейства и деформации................... 258

§ 30. Матрицы, зависящие от параметров, и особенности декремент-диаграмм ....................... 276

§ 31. Бифуркации особых точек векторного поля........ 301

§ 32. Версальные деформации фазовых портретов ....... 307

§ 33. Потеря устойчивости положения равновесия....... 312

§ 34. Потеря устойчивости автоколебаний............ 330

§ 35. Версальные деформации эквивариантных векторных полей на плоскости ......................349

§ 36. Перестройки топологии при резонансах.......... 372

§ 37. Классификация особых точек................ 388

Образцы экзаменационных задач................ 394