Оглавление

Предисловия............................. 3

Глава первая Основные сведения из векторной алгебры

1.1. Векторы и скаляры....................... 5

1.2. Сложение и вычитание векторов. Проекция вектора на ось ... 7

1.3. Умножение вектора на скаляр. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора....................... 11

1.4. Скалярное и векторное произведения двух векторов...... 17

1.5. Произведения трех векторов .................. 22

1.6. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и контравариантные составляющие вектора. Сокращенные обозначения........ 25

1.7. Переменные векторы...................... 34

Задачи с решениями....................... 37

Упражнения........................... 49

Глава вторая Понятие тензора и закон преобразования его компонент

2.1. Компоненты тензоров и их преобразование. Равноправность координатных систем........................ 53

2.2. Тензоры нулевого ранга (скаляры)............... 55

2.3. Тензоры 1-го ранга (векторы).................. 57

2.4. Тензоры 2-го ранга....................... 60

2.5. Тензоры высших рангов .................... 72

2.6. Преобразование компонент векторов и тензоров при повороте координатной плоскости вокруг перпендикулярной оси ..... 74

"2.7. Инвариантность тензорных уравнений ............. 77

2.8. Криволинейные координаты .................. 79

2.9. Тензоры в системах обобщенных координат........... 85

Задачи с решениями....................... 89

Упражнения........................... 95

Глава третья Тензорная алгебра

3.1. Сложение тензоров.......................97

3.2. Умножение тензоров......................98

3.3. Свертывание тензоров......................99

3.4. Свойство симметрии тензоров..................101

3.5. Единичный тензор. Метрический тензор ............105

3.6. Главные оси тензора. Приведение тензора к главным осям ... 106

3.7. Инварианты тензора ......................118

3.8. Признак тензорности величин..................110

3.9. Псевдотензоры .........................120

3.10. Линейное n-мерное пространство. Векторы и тензоры в n-мерном пространстве...........126

Задачи с решениями ......................128

Упражнения...........................133

Глава четвертая Векторный и тензорный анализ

4.1. Тензорное поле. Циркуляция..................135

4.2. Теорема Остроградского и теорема Стокса...........138

4.3. Скалярное поле Производная по направлению. Оператор Ñ .. 147

4.4. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля. Дифференцирование вектора по направлению..............152

4.5. Поле тензора 2-го ранга. Поток, дивергенция и производная по направлению тензорного поля ...............170

4.6. Ковариантное дифференцирование тензоров» Ковариантная производная вектора. Символы Кристоффеля............173

4.7. Применение дифференциальных операций к различного вида векторным и скалярным функциям ................. 179

4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа .... 188

4.9. Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал .....206

4.10. Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал ..... 210

4.11. Лапласово векторное поле. Гармонические функции ......213

4.12. Основная теорема векторного анализа..............219

Задачи с решениями.......................229

Упражнения...........................248