ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава восьмая ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) . 11
264. Интеграл и задача об определении площади............. 15
265. Таблица основных интегралов .................... 18
266. Простейшие правила интегрирования................ 20
267. Примеры................................ 22
268. Интегрирование путем замены переменной............. 25
269. Примеры................................ 29
270. Интегрирование по частям...................... 33
271. Примеры................................ 35
§ 2. Интегрирование рациональных выражений
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде........ 39
273. Простые дроби и их интегрирование................. 40
274. Разложение правильных дробей на простые............. 42
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 46
276. Выделение рациональной части интеграла.............. 48
277. Примеры................................ 52
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
278.
Интегрирование
выражений
вида
.
Примеры ... 55
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры .... 57
280. Формулы приведения ......................... 59
281.
Интегрирование
выражений
вида
Подстановки
Эйлера.......................... 62
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок......... 65
283. Примеры................................ 66
284. Другие приемы вычисления...................... 72
285. Примеры................................ 79
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции
286. Интегрирование дифференциалов R(sinх, cosх)dx......... 81
287. Интегрирование выражений sinvx•cosμx.............. 84
288. Примеры................................ 86
289. Обзор других случаев......................... 90
§ 5. Эллиптические интегралы
290. Общие замечания и определения................... 92
291. Вспомогательные преобразования .................. 94
292. Приведение к канонической форме.................. 97
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода.......... 99
Глава девятая ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла
294. Другой подход к задаче о площади.................. 104
295. Определение.............................. 106
296. Суммы Дарбу.............................. 108
297. Условия существования интеграла.................. 111
298. Классы интегрируемых функций................... 112
299. Свойства интегрируемых функций.................. 114
300. Примеры и дополнения........................ 116
301. Нижний и верхний интегралы как пределы............. 118
§ 2. Свойства определенных интегралов
302. Интеграл по ориентированному промежутку............ 120
303. Свойства, выражаемые равенствами................. 121
304. Свойства, выражаемые неравенствами................ 123
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела...... 127
306. Вторая теорема о среднем значении................. 130
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
307. Вычисление с помощью интегральных сумм ............ 133
308. Основная формула интегрального исчисления............ 136
309. Примеры................................ 138
310. Другой вывод основной формулы................... 142
311. Формулы приведения ......................... 143
312. Примеры................................ 144
313. Формула замены переменной в определенном интеграле...... 148
314. Примеры................................ 149
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена.............. 155
316. Другой вывод формулы замены переменной............. 157
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов
317. Формула Валлиса........................... 159
318. Формула Тейлора с дополнительным членом............ 160
319. Трансцендентность числа е...................... 161
320. Многочлены Лежандра........................ 163
321. Интегральные неравенства...................... 166
§ 5. Приближенное вычисление интегралов
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций .... 169
323. Параболическое интерполирование.................. 172
324. Дробление промежутка интегрирования............... 174
325. Дополнительный член формулы прямоугольников......... 175
326. Дополнительный член формулы трапеций.............. 178
327. Дополнительный член формулы Симпсона ............. 178
328. Примеры................................ 181
Глава десятая
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ,
МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой
329. Вычисление длины кривой...................... 186
330. Другой подход к определению понятия длины кривой
и ее вычислению............................ 188
331. Примеры................................ 192
332. Натуральное уравнение плоской кривой............... 198
333. Примеры................................ 202
334. Длина дуги пространственной кривой................ 204
§ 2. Площади и объемы
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности...... 205
336. Площадь как предел.......................... 209
337. Классы квадрируемых областей.................... 211
338. Выражение площади интегралом................... 213
339. Примеры................................ 216
340. Определение понятия объема. Его свойства............. 223
341. Классы тел, имеющих объемы .................... 225
342. Выражение объема интегралом.................... 227
343. Примеры................................ 230
344. Площадь поверхности вращения................... 237
345. Примеры................................ 240
346. Площадь цилиндрической поверхности ............... 243
347. Примеры................................ 245
§ 3. Вычисление механических и физических величин
348. Схема применения определенного интеграла............ 248
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой ... 251
350. Примеры................................ 253
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести
плоской фигуры............................ 255
352. Примеры................................ 256
353. Механическая работа......................... 258
354. Примеры................................ 260
355. Работа силы трения в плоской пяте ................. 262
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов....... 264
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка........... 270
358. Уравнения первой степени относительно производной.
Отделение переменных........................ 271
359. Задачи.................................. 273
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений...... 279
361. Задачи.................................. 280
Глава одиннадцатая БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение
362. Основные понятия........................... 284
363. Примеры................................ 285
364. Основные теоремы........................... 287
§ 2. Сходимость положительных рядов
365. Условие сходимости положительного ряда.............. 289
366. Теоремы сравнения рядов....................... 292
367. Примеры................................ 294
368. Признаки Коши и Даламбера..................... 298
369. Признак Раабе............................. 300
370. Примеры................................ 302
371. Признак Куммера........................... 305
372. Признак Гаусса............................. 307
373. Интегральный признак Маклорена-Коши.............. 309
374. Признак Ермакова........................... 313
375. Дополнения............................... 316
§ 3. Сходимость произвольных рядов
376. Общее условие сходимости ряда................... 322
377. Абсолютная сходимость........................ 323
378. Примеры................................ 325
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости ............ 327
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты ....... 329
381. Знакопеременные ряды........................ 330
382. Примеры................................ 332
383. Преобразование Абеля ........................ 334
384. Признаки Абеля и Дирихле...................... 336
385. Примеры................................ 337
§ 4. Свойства сходящихся рядов
386. Сочетательное свойство........................ 342
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов..... 344
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов............... 346
389. Умножение рядов ........................... 349
390. Примеры................................ 352
391. Общая теорема из теории пределов ................. 355
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов............. 357
§ 5. Повторные и двойные ряды
393. Повторные ряды............................ 359
394. Двойные ряды............................. 363
395. Примеры................................ 369
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости .... 377
397. Примеры................................ 380
398. Кратные ряды ............................. 382
§ 6. Бесконечные произведения
399. Основные понятия........................... 382
400. Примеры................................ 383
401. Основные теоремы. Связь с рядами ................. 385
402. Примеры................................ 389
§ 7. Разложения элементарных функций
403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора......... 396
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др.............................. 399
405. Логарифмический ряд......................... 401
406. Формула Стирлинга.......................... 403
407. Биномиальный ряд........................... 405
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения .... 407
§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов
409. Общие замечания ........................... 411
410. Вычисление числа π.......................... 412
411. Вычисление логарифмов ....................... 414
412. Вычисление корней.......................... 416
413. Преобразование рядов по Эйлеру .................. 417
414. Примеры................................ 419
415. Преобразование Куммера....................... 422
416. Преобразование Маркова....................... 425
§ 9. Суммирование расходящихся рядов
417. Введение................................ 427
418. Метод степенных рядов........................ 429
419. Теорема Таубера............................ 432
420. Метод средних арифметических................... 435
421. Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро .. 436
422. Теорема Харди-Ландау........................ 438
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов ... 441
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов......... 442
425. Примеры................................ 447
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования .... 450
Глава двенадцатая ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
427. Вводные замечания .......................... 454
428. Равномерная и неравномерная сходимости ............. 456
429. Условие равномерной сходимости.................. 461
430. Признаки равномерной сходимости рядов.............. 463
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
431. Непрерывность суммы ряда...................... 466
432. Замечание о квазиравномерной сходимости............. 469
433. Почленный переход к пределу.................... 471
434. Почленное интегрирование рядов .................. 473
435. Почленное дифференцирование рядов................ 476
436. Точка зрения последовательности .................. 479
437. Непрерывность суммы степенного ряда............... 482
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов...... 486
§ 3. Приложения
439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход
к пределу................................ 489
440. Примеры на почленное интегрирование рядов ........... 496
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов......... 507
442. Метод последовательных приближений в теории неявных
функций................................. 513
443. Аналитическое определение тригонометрических функций .... 515
444. Пример непрерывной функции без производной.......... 518
§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах
445. Действия над степенными рядами.................. 520
446. Подстановка ряда в ряд........................ 524
447. Примеры................................ 527
448. Деление степенных рядов....................... 531
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются .... 534
450. Решение уравнений рядами...................... 539
451. Обращение степенного ряда ..................... 543
452. Ряд Лагранжа.............................. 545
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной
453. Комплексные числа.......................... 549
454. Комплексная варианта и ее предел.................. 552
455. Функции комплексной переменной.................. 554
456. Степенные ряды............................ 557
457. Показательная функция........................ 560
458. Логарифмическая функция...................... 562
459. Тригонометрические функции и им обратные............ 564
460. Степенная функция.......................... 568
461. Примеры................................ 569
§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена
462. Примеры................................ 574
463. Определения.............................. 577
464. Основные свойства асимптотических разложений.......... 579
465. Вывод формулы Эйлера-Маклорена................. 583
466. Исследование дополнительного члена................ 586
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена .. 588
468. Другой вид формулы Эйлера-Маклорена.............. 592
469. Формула и ряд Стирлинга....................... 594
Глава тринадцатая НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
470. Определение интегралов с бесконечными пределами........ 597
471. Применение основной формулы интегрального исчисления .... 599
472. Примеры................................ 600
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы.............. 603
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции..... 605
475. Сходимость интеграла в общем случае ............... 607
476. Признаки Абеля и Дирихле...................... 609
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду ... 612
478. Примеры................................ 615
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
479. Определение интегралов от неограниченных функций....... 623
480. Замечание относительно особых точек................ 627
481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры................................ 628
482. Условия и признаки существования интеграла ........... 630
483. Примеры................................ 634
484. Главные значения несобственных интегралов............ 637
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов .. 642
§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов
486. Простейшие свойства......................... 645
487. Теоремы о среднем значении..................... 647
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов .. 649
489. Примеры................................ 650
490. Замена переменных в несобственных интегралах.......... 653
491. Примеры................................ 654
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов
492. Некоторые замечательные интегралы ................ 659
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами......... 663
494. Случай интегралов с бесконечным пределом............ 666
495. Интегралы Фруллани ......................... 670
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами................................ 672
497. Смешанные примеры и упражнения................. 678
§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей ... 691
499. Примеры................................ 692
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов............................... 696
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов
с бесконечным пределом ....................... 697
502. Использование асимптотических разложений............ 700
Глава четырнадцатая ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория
503. Постановка задачи........................... 704
504. Равномерное стремление к предельной функции.......... 705
505. Перестановка двух предельных переходов.............. 708
506. Предельный переход под знаком интеграла............. 710
507. Дифференцирование под знаком интеграла............. 712
508. Интегрирование под знаком интеграла................ 715
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра..... 717
510. Введение множителя, зависящего лишь от х ............ 720
511. Примеры................................ 722
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры........ 733
§ 2. Равномерная сходимость интегралов
513. Определение равномерной сходимости интегралов......... 735
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами......... 736
515. Достаточные признаки равномерной сходимости.......... 737
516. Другой случай равномерной сходимости............... 740
517. Примеры................................ 742
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов
518. Предельный переход под знаком интеграла............. 747
519. Примеры................................ 751
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру . 765
521. Интегрирование интеграла по параметру.............. 769
522. Применение к вычислению некоторых интегралов......... 772
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла...... 779
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла......... 789
§ 4. Дополнения
525. Лемма Арцела............................. 800
526. Предельный переход под знаком интеграла............. 802
527. Дифференцирование под знаком интеграла............. 806
528. Интегрирование под знаком интеграла................ 806
§ 5. Эйлеровы интегралы
529. Эйлеров интеграл первого рода.................... 808
530. Эйлеров интеграл второго рода.................... 811
531. Простейшие свойства функции Г................... 812
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами........ 819
533. Другая функциональная характеристика функции Г ........ 821
534. Примеры................................ 823
535. Логарифмическая производная функции Г.............. 830
536. Теорема умножения для функции Г................. 832
537. Некоторые разложения в ряды и произведения........... 834
538. Примеры и дополнения........................ 835
539. Вычисление некоторых определенных интегралов ......... 842
540. Формула Стирлинга.......................... 850
541. Вычисление эйлеровой постоянной.................. 853
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г..... 854
Алфавитный указатель.............................. 856