ОГЛАВЛЕНИЕ.

Глава I.

ВВЕДЕНИЕ.

I. Пределы. Множества.......................... 13

1. Пределы........................... —

2. Сечения в области действительных чисел............ —

3. Ограниченные множества................... 15

4. Наибольший из пределов................... 16

5. Сходящиеся последовательности................ 18

II. Функции. Общие понятия....................... 20

6. Определения......................... —

7. Непрерывность........................ 21

8. Свойство непрерывных функций................ 22

9. Разрывные функции...................... 25

10. Монотонные функции..................... 27

11. Функции с ограниченным изменением............. 28

12. Функции многих переменных................. 31

13. Непрерывные кривые..................... 34

Упражнения......................... 36

Глава II. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.

I. Определения. Общие свойства ..................... 37

14. Производные......................... —

15. Производные высших порядков................ 39

16. Теорема Ролля....................... —

17. Формула конечных приращений................ 40

18. Формула Тейлора...................... 42

19. Частные производные..................... 46

20. Плоскость, касательная к поверхности............. 49

21. Переход от разностей к производным.............. 50

II. Дифференциальное обозначение..................... 52

22. Дифференциалы ........................ —

23. Полные дифференциалы.................... 54

24. Высшие дифференциалы сложной функции........... 56

25. Дифференциал произведения.................. 58

26. Однородные функции ................... 59

27. Формула Тейлора для функций многих переменных....... 62

III. Функции, определенные как пределы................ 65

28. Способ определения новых функций.............. —

29. Равномерная сходимость.................... 67

30. Равномерно сходящиеся ряды................ 69

31. Непрерывная функция, не имеющая производной........ 72

Упражнения.......................... 74

Глава III.

НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, МАКСИМУМ И МИНИМУМ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ.

I. Неявные функции........................... 78

32. Исследование частного случая................ —

33. Вычисление корня последовательными приближениями..... 80

34. Производные от неявных функций............... 84

35. Приложение к поверхностям.................. 85

36. Высшие производные..................... 86

37. Частные производные..................... 88

38. Совокупные уравнения..................... 91

39. Вычисление производных ................... 93

40. Обращение функций..................... 95

41. Касательная к кривой в пространстве............. —

II. Особые точки. Максимумы и минимумы................ 97

42. Особые точки......................... —

43. Конические точки поверхности............... 100

44. Максимумы и минимумы функций одного переменного..... 102

45. Функции двух переменных................... 103

46. Исследование сомнительного случая.............. 105

47. Функции трех переменных................... 109

48. Расстояние точки от поверхности ............... 111

49. Максимум и минимум неявных функций............ 112

50. Общие замечания об абсолютных максимумах и минимумах ... 113

51. Максимальное значение одного определителя........ 115

Ш. Функциональные определители.................... 116

52. Основное свойство....................... —

IV. Замена переменных.......................... 123

53. Общие замечания....................... —

54. Задача I .......................... 124

55. Приложения.......................... 125

56. Задача II.......................... 128

57. Преобразование плоских кривых................ 129

58. Преобразование прикосновения................. 130

59. Гомографические преобразования.............. 132

60. Задача III.......................... 133

61. Другой способ решения .... ............... 136

62. Задача IV......................... 139

63. Преобразование Лежандра................ —

64. Преобразование Ампера................... 141

65. Уравнение потенциала в криволинейных координатах...... 142

Упражнения......................... 145

Глава IV.

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

I. Различные методы квадратуры..................... 151

66. Квадратура параболы.................... —

67. Общий метод........................ 152

68. Начальные функции...................... 154

II. Определенные интегралы. Геометрические понятия, с ними связанные .. 156

69. Суммы S и s......................... —

70. Теорема Дарбу........................ 157

71. Интегрируемые функции ................... 158

72. Определенные интегралы...................

73. Формула среднего значения ............. 162

74. Вторая формула среднего значения.............. 163

75. Переход к первообразным функциям.............. 165

76. Указатели........................... 168

77. Площадь плоской области................... 170

78. Вычисление площади плоской области............ 172

79. Длина дуги кривой.................... 175

80. Направляющие косинусы................. 179

81. Изменение отрезка прямой................... —

82. Теоремы Гревса и Шаля................... 180

III. Замена переменных. Интегрирование по частям............ 181

83. Замена переменных...................... —

84. Интегрирование по частям................... 183

85. Формула Тейлора....................... 185

85bis. Трансцендентность, числа e ................ 186

86. Полиномы Лежандра...................... 187

IV. Распространение понятия об интеграле. Криволинейные интегралы ... 189

87. Один из пределов обращается в бесконечность......... —

88. Применение второй теоремы о среднем............. 191

89. Подынтегральная функция обращается в бесконечность..... 194

90. Функция Г (а)......................... 197

91. Криволинейные интегралы................... 198

92. Приложение к площади замкнутой кривой........... 200

93. Значение интеграла.............. 202

V. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла....... 203

94. Дифференцирование под знаком интеграла............

95. Интегрирование под знаком интеграла............. 205

96. Равномерно сходящиеся интегралы............... 207

Упражнения......................... 211

Глава V.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

I. Неопределенные интегралы....................... 215

97. Интегрирование рациональных функций. Общий способ .... —

98. Уникурсальные кривые................... 227

99. Алгебраически-логарифмические интегралы......... 230

100. Приведение интегралов эллиптических и ультраэллиптических . 232

101. Случай алгебраической интеграции.............. 237

102. Эллиптические интегралы................... 238

102а. Псевдоэллиптические интегралы............... —

103. Интегрирование трансцендентных функций. Интегрирование рациональных функций от sin x и cos x............. 243

II. Приближенное вычисление определенных интегралов.......... 252

104. Общие основания ...................... —

105. Интерполирование...................... 254

106. Метод Гаусса......................... 256

106а. Планиметр Амслера...................... 258

107. Интегрирование рядов.................... 260

III. Разные методы........................... 264

108. Приложение формул дифференцирования и интегрирования под знаком интеграла........ —

109. Вычисление  ............. 267

110. Приближенное значение  ............. 268

Упражнения......................... 270

Глава VI.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

I. Двойные интегралы. Способ вычисления. Формула Грина........274

111. Суммы S и s для функции двух переменных.......... —

112. Двойные интегралы..................... 276

113. Вычисление двойного интеграла................ 278

114. Случай произвольной области................. 281

115. Аналогия с простыми интегралами............... 284

116. Формула Грина........................ 287

II. Замена переменных. Площадь поверхности...............288

117. Предварительная формула................... —

118. Замена переменных. Первый способ.............. 290

119. Примеры ......................... 292

120. Замена переменных. Второй способ.............. 293

121. Объемы........................... 296

122. Вычисление объемов...................... 298

123. Объем, ограниченный линейчатой поверхностью......... 299

124. Площадь кривой поверхности.................. 300

125. Элемент поверхности..................... 303

126. Задача Вивиани....................... 305

III. Расширение понятия двойного интеграла. Интегралы по поверхности .. 306

127. Двойные интегралы по неограниченной области......... —

128. Функция В(р, q)...................... 309

129. Интегралы от неограниченных функций............ 310

130. Функциональное уравнение Абеля............... 312

131. Поверхностные интегралы................... 313

132. Формула Стокса...................... 315

133. Применение поверхностных интегралов к вычислению объемов . 317 Упражнения..........................318

Глава VII.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ.

К. Кратные интегралы. Замена переменных................. 321

134. Тройные интегралы...................... —

135. Способы вычисления ..................... 322

136. Формула Остроградского (Грина)............... 326

137. Соотношение между двумя элементами поверхности....... 327

138. Замена переменных. Первый способ.............. 328

139. Замена переменных. Второй способ............... 330

140. Элемент объема........................ 332

141. Эллиптические координаты................... 335

142. Интегралы Дирихле...................... 336

143. Кратные интегралы...................... 337

11. Интегрирование полных дифференциалов............... 340

144. Общий метод......................... —

145. Исследование интеграла ............343

146. Периоды...........................345

147. Обобщение предыдущих результатов..............348

Упражнения.........................349

ДОПОЛНЕНИЕ

О формулах дифференцирования определенных интегралов........351