ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XXX
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
I. Линейные интегральные уравнения с переменными пределами
548. Уравнение Вольтерра ................... 9
549. Разрешающее ядро (резольвента) ........... 12
550. Нахождение разрешающих ядер в некоторых частных случаях 14
551. Применение к линейным дифференциальным уравнениям .. 15
552. Распространение на функции многих переменных..... 17
553. Задача об обращении определенного интеграла ...... 19
554. Уравнение первого рода ............... 20
555. Обобщенное уравнение Абеля.............. 23
II. Линейные интегральные уравнения с постоянными пределами
556. Требования, налагаемые на ядро........... 25
557. Решение с помощью последовательных приближений ... 27
558. Повторные ядра.................. 29
559. Ра решающее ядро.................. 30
560. Свойства разрешающих ядер.............. 84
561. Неограниченные ядра.................. 36
562. Системы интегральных уравнений............ 40
563. Случай функций многих переменных.......... —
Дополнения и упражнения................ 43
Глава XXXI
УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
I. Теорема Фредгольма
564. Об одном методе наведения.............. 47
565. Функции
................ 48
566. Разложение функции D'(λ):D(λ)............. 52
567. Миноры функции D(λ)................. 53
568. Однородное уравнение. Фундаментальные функции .... 55
569. Исследование особого случая.............. 58
570. Случай неограниченных ядер.............. 59
571. Ядра вида ΣΧiYi.................... 63
572. Другой метод индукции................. 65
II. Изучение разрешающего ядра
573. Ортогональные и биортогональные системы....... 66
574. Ортогональные и полуортогональные ядра........ 69
575. Приложение к фундаментальным функциям....... 72
576. Главные ядра..................... 76
577. Строение главного ядра................. 79
578. Приведение к каноническому виду............ 81
579. Каноническая резольвента ................ 84
580. Главные функции.................... 86
581. Теоремы Фредгольма................... 90
582. Нахождение характеристических значений........ 92
583. Метод Шварца..................... 95
584. Род функции D (λ)................... 96
585. Разложение разрешающего ядра............. 98
586. Особые ядра...................... 102
Дополнения и упражнения............... 104
Глава XXXII
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
587. Симметрические ядра.................. 108
588. Неравенство Бесселя.................. 112
589. Теорема Гильберта-Шмидта............... 114
590. Классификация симметрических ядер........... 117
591. Разложение повторных ядер............... 119
592. Положительные ядра.................. 122
593. Ядра Шмидта...................... 124
594. Распространение неравенства Бесселя на биортогональные системы ....... 128
595. Ядра вида А (х) S (х, у)................ 130
596. Симметризуемые ядра................. 132
597. Кососимметрические ядра ............ 134
598. Фундаментальные функции Шмидта.......... 136
599. Теорема Фишер-Риса.................. 140
600. Интегральное уравнение первого рода......... 142
601. Приближение в среднем................. 144
Дополнения и упражнения............... 146
Глава ХХХШ
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
I. Приложения к дифференциальным уравнениям
602. О некоторых свойствах линейных уравнений....... 150
603. Новые задачи для линейных уравнений......... 154
604. Определения интеграла по его значениям у (а) и у (b) .. 156
605. Изучение особых значений............... 159
606. Охлаждение неоднородного бруса........... 160
607. Изучение особого случая................ 163
608. Периодические решения................. 166
II. Приложение к уравнениям в частных производных
609. Задачи, относящиеся к гармоническим функциям..... 167
610. Различные замечания.................. 174
611. Плоские задачи.................... 175
612. Задачи распределения тепла............... 178
613. Функции, аналогичные функции Грина ........ —
614. Задачи, связанные с уравнением ΔU=F(x.у, z)..... 184
615. Задачи, связанные с уравнением ΔU =λRU+R1.... 185
616. Колебания упругой мембраны.............. 189
617. Задачи об охлаждении ................ 190
618. Общее уравнение эллиптического типа.......... 192
Дополнения и упражнения............... 194
Глава XXXIV
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
I. Первая вариация экстремали
619. Предварительные леммы................ 203
620. Определения. Содержание первой задачи......... 205
621. Первая вариация. Уравнение Эйлера.......... 208
622. Примеры ..................... 211
623. Случай нескольких неизвестных функций....... 214
624. Случай, когда функция F содержит производные высших порядков............. 219
625. Общее выражение для первой вариации........ —
626. Случай переменных пределов. Трансверсали....... 222
627. Задачи условного экстремума.............. 226
628. Изопериметрические задачи............... 228
629. Первая вариация двойного интеграла.......... 229
II. Вторая вариация. Необходимые условия экстремума
630. Предварительное замечание............... 231
631. Условие Лежандра................... 234
632. Условие Якоби .................... 236
633. Геометрическая интерпретация. Сопряженные фокусы ... 238
634. Примеры .................. 240
635. Недостаточность предыдущих условий.......... 242
636. Условие Вейерштрасса. Функция Ε........... 245
637. Теория Клобша..................... 248
III. Поле экстремалей. Достаточные условия
638. Определение поля экстремальных кривых ........ 253
639. Теорема Вейерштрасса................ 256
640. Достаточные условия................ 257
641. Сильный минимум и слабый минимум.......... 259
642. Интерпретация метода Вейерштрасса........... 262
643. Уравнение семейства трансверсалей........... 264
644. Случай двух неизвестных функций............ 265
IV. Теория Вейерштрасса. Разрывные решения
645. Параметрическая форма интеграла............ 267
646. Новая задача...................... 270
647. Общая форма уравнения Эйлера............. 272
648. Условия Лежандра и Якоби............... 274
649. Условие Вейерштрасса................ 277
650. Система достаточных условий ............. 279
651. Примеры. Геодезические линии............. 288
652. Метод Дарбу-Кнезера................ 284
653. Разрывные угловые решения............ 285
654. Односторонние вариации............... 283
655. Замечания об абсолютном экстремуме.......... 291
Дополнения и упражнения............... 293
Указатель............................. 298
Общий указатель ко всему сочинению............... 301