ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию......................... 8
Предисловие к первому изданию .......................... 9
Введение......................................... 15
ГЛАВА I
Линейные системы
§1. Линейная система без трения (гармонический осциллятор)...... 35
§2. Понятие о фазовой плоскости. Представление совокупности движений гармонического осциллятора на фазовой плоскости ........ 38
1. Фазовая плоскость (38).
2. Уравнение, не содержащее времени (40).
3. Особые точки. Центр (41).
4. Изоклины (42).
5. Состояние равновесия и периодические движения (43).
§3. Устойчивость состояния равновесия .................... 45
§4. Линейный осциллятор при наличии трения................ 48
1. Затухающий осцилляторньй процесс (49).
2. Изображение затухающего осцилляторного процесса на фазовой плоскости (52).
3. Непосредственное исследование дифференциального уравнения (56).
4. Затухающий апериодический процесс (59).
5. Изображение апериодического процесса на фазовой плоскости (62).
§5. Осциллятор с малой массой ......................... 68
1. Линейные системы с 1/2 степени свободы (68).
2. Начальные условия и идеализация (72).
3. Условия скачка (74).
4. Другие примеры (77).
§6. Линейные системы с «отрицательным трением»............ 82
1. Механический пример (82).
2. Электрический пример (85).
3. Картина на фазовой плоскости (87).
4. Поведение системы при изменении обратной связи (90).
§7. Линейная система с отталкивающей силой................ 94
I. Картина на фазовой плоскости (95).
2, Электрическая система (98).
3. Особая точка типа седла (99).
ГЛАВА II
Консервативные нелинейные системы
§1. Введение..................................... 103
§2. Простейшая консервативная система.................... 104
§3. Исследование фазовой плоскости вблизи состояний равновесия ... 108
§4. Исследование характера движений на всей фазовой плоскости . ... 116
§5. Зависимость поведения простейшей консервативной системы от параметра........ 125
1. Движение тяжелой точки по окружности, вращающейся вокруг вертикальной оси (129).
2. Движение тяжелой точки по параболе, вращающейся вокруг вертикальной оси (133).
3. Движение проводчика, обтекаемого током (136).
§6. Уравнения движения ............................. 141
1. Колебательный контур с железом (143).
2. Колебательный контур с сегнетовой солью в конденсаторе (145).
§7. Общие свойства консервативных систем................. 148
1. Периодические движения и их устойчивость (149).
2. Однозначный аналитический интеграл и консервативность (151).
3. Консервативные системы и вариационный принцип (155).
4. Интегральный инвариант (156).
5. Основные свойства консервативных систем (162).
6. Пример. Совместное существование двух видов (164).
ГЛАВА III
Неконсервативные системы
§1. Диссипативные системы............................ 168
§2. Осциллятор с «кулоновским» трением................... 175
§3. Ламповый генератор в случае S-характеристики............. 182
§4. Теория часов. Модели с ударами...................... 196
1. Часы в случае линейного трения (198).
2. Ламповый генератор с контуром в цепи сетки в случае S-характеристики (201).
3. Модель часов с. кулоновским трением (204).
§5. Теория часов. Безударная модель «спуска с отходом назад» .... 213
1. Модель часов с балансиром «без собственного периода» (217).
2. Модель часов с балансиром, обладающим «собственным периодом» (223).
§6. Свойства простейших автоколебательных систем............229
§7. Предварительное рассмотрение автоколебаний, близких к синусоидальным .............231
ГЛАВА IV
Динамические системы первого порядка
§1. Теорема существования и единственности................ 241
§2. Качественный характер кривых на плоскости t,x в зависимости от вида функции f(х)....... 243
§3. Представление движения на фазовой прямой................ 244
§4. Устойчивость состояний равновесия .................... 247
§5. Зависимость характера движений от параметра............. 251
1. Вольтова дуга в цепи с сопротивлением и самоиндукцией (252).
2. Динатрон в цепи с сопротивлением и емкостью (255).
3. Ламповое реле (257).
4. Движение глиссирующего судна (260).
5. Однофазный асинхронный мотор (261).
6. Фрикционный регулятор (263).
§6. Периодические движения........................... 266
1. Двухпозиционный регулятор температуры (268).
2. Колебания в схеме с неоновой лампой (271).
§7. Мультивибратор с одной RC-цепью....................279
ГЛАВА V
Динамические системы второго порядка
§1. Фазовые траектории и интегральные кривые на фазовой плоскости 288
§2. Линейные системы общего типа....................... 292
§3. Примеры линейных систем..........................302
1. Малые колебания динатроиного генератора (302).
2. «Универсальная» схема (303).
§4. Состояния равновесия. Устойчивость состояний равновесия......308
1. Случай действительных корней характеристического уравнения (309).
2. Случай комплексных корней характеристического уравнения (314).
§5. Пример: состояния равновесия в цепи вольтовой дуги.........317
§6. Предельные циклы и автоколебания....................324
§7. Точечные преобразования и предельные циклы.............328
1. Функция последования и точечное преобразование (328).
2. Устойчивость неподвижной точки. Теорема Кенигса (331).
3. Условие устойчивости предельного цикла (335).
§8. Индексы Пуанкаре...............................338
§9. Системы без замкнутых траекторий....................345
1. Симметричное ламповое реле (триггер) (346).
2. Работа динамомашины на общую нагрузку (355).
3. Осциллятор с квадратичными членами (363).
4. Еще один пример неавтоколебательной системы (363).
§10. Исследование поведения фазовых траекторий в удаленных частях плоскости.......365
§11. Оценка месторасположения предельных циклов............. 373
§12. Приближенные методы интегрирования.................. 383
ГЛАВА VI
Основы качественной теории дифференциальных уравнений второго порядка
§1. Введение.....................................395
§2. Общая теория поведения траекторий на фазовой плоскости. Предельные траектории и их классификация.................397
1. Предельные точки полутраектории и траектории (397).
2. Первая основная теорема о множестве предельных точек полутраектории (399).
3. Вспомогательные предложения (402).
4. Вторая основная теорема о множестве предельных точек полутраектории (405).
5. Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств (409).
§3. Качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории.
Особые траектории...............................410
1. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории (410).
2. Орбитно-устойчивые и орбитно-неустойчивые (особые) траектории (4]2).
3. Возможные типы особых и неособых траекторий (415).
4. Элементарные ячейки — области, заполненные неособыми траекториями одинакового поведения (420).
5. Односвязные и двухсвязные ячейки (424).
§4. Грубые системы.................................427
1. Грубые динамические системы (427).
2. Грубые состояния равновесия (431).
3. Простые и сложные предельные циклы. Грубые предельные циклы (441).
4. Поведение сепаратрисы седел в грубых системах (451).
5. Необходимые и достаточные условия грубости (453).
6. Классификация траекторий, возможных в грубых системах (454).
7. Типы ячеек, возможных в грубых системах (457).
§5. Зависимость качественной картины траекторий от параметра .... 464
1. Бифуркационное значение параметра (465).
2. Простейшие бифуркации состояний равновесия (467).
3. Появление предельных циклов из сложных предельных циклов (468).
4. Появление предельных циклов из сложного фокуса (470).
5. Физический пример (476).
6. Появление предельных циклов из сепаратрисы, идущей из седла в седло, и из сепаратрисы состояния равновесия седло-узел при его исчезновении (477).
ГЛАВА VII
Системы с цилиндрической фазовой поверхностью
§1. Цилиндрическая фазовая поверхность................... 480
§2. Маятник с постоянным моментом...................... 483
§3. Маятник с постоянным моментом. Неконсервативный случай..... 489
§4. Задача Жуковского о планирующем полете............... 497
ГЛАВА VIII
Метод точечных преобразований и кусочно-линейные системы
§1. Введение.....................................504
§2. Ламповый генератор..............................507
1. Уравнение колебаний (507).
2. Точечное преобразование (510).
3. Неподвижная точка и ее устойчивость (515).
4. Предельный цикл (518).
§3. Ламповый генератор (симметричный случай)...............521
1. Уравнения колебаний и фазовая плоскость (521).
2. Точечное преобразование (522).
3. Неподвижная точка и предельный цикл (526).
§ 4. Ламповый генератор со смещенной S-характеристикой.........529
1. Уравнение колебаний. Фазовая плоскость (529).
2. Точечное преобразование (531).
3. Неподвижные точки и предельные циклы (534).
4. Случай малых a и g (539).
§5. Ламповый генератор с двухзвенной RC-цепочкой............539
1. Фазовая плоскость. Точечное преобразование (541).
2. Исследование функций соответствия (546).
3. Диаграмма Ламерея (549).
4. Разрывные колебания (551).
5. Период автоколебаний при малых m (556).
§6. Двухпозиционный авторулевой........................562
1. Постановка задачи (562).
2. Фазовая плоскость. «Скользящий режим» (566).
3. Точечное преобразование (570).
4. Авторулевой с жесткой обратной связью (574).
5. Другие системы автоматического регулирования (578).
§7. Двухпозиционный авторулевой с запаздыванием.............580
1. Авторулевой с пространственным запаздыванием (581).
2. Авторулевой с временным запаздыванием (591).
§8. Релейная система автоматического регулирования (с мертвой зоной
и пространственным запаздыванием)....................599
1. Уравнения движения некоторых релейных систем (601).
2. Фазовая поверхность (604).
3. Точечное преобразование при b<1 (606).
4. Диаграмма Ламерея (609).
5. Структура разбиения фазовой поверхности на траектории (614).
6. Динамика системы при сильной коррекции по скорости (619).
§9. Осциллятор с квадратичным трением ...................621
§10. Паровая машина.................................626
1. Машина, работающая на «постоянную» нагрузку (629).
2. Паровая машина, работающая на «постоянную» нагрузку и снабженная регулятором (635).
3. Машина, работающая на нагрузку, зависящую от скорости (641).
ГЛАВА IX
Нелинейные системы, близкие к гармоническому осциллятору
§1. Введение.....................................650
§2. Метод Ван-дер-Поля..............................653
§3. Обоснование метода Ван-дер-Поля ....................663
1. Обоснование метода Ван-дер-Поля для процессов установления (663).
2. Обоснование метода Ван-дер-Поля для установившихся колебаний (670).
§4. Применение метода Ван-дер-Поля .....................675
1. Ламповый генератор при мягком режиме (676).
2. Ламповый генератор при аппроксимации характеристики лампы полиномом пятой степени (680).
3. Автоколебания лампового генератора с двухзвенной RC-цепочкой (686).
§5. Метод Пуанкаре.................................689
1. Идея метода Пуанкаре (691).
2. Метод Пуанкаре для систем, близких к линейным (693).
§6. Применение метода Пуанкаре........................ 703
1. Ламповый генератор с мягким режимом (703).
2. Значение малого параметра m (705).
§7. Ламповый генератор в случае ломаных характеристик.........707
1. Ламповый генератор в случае S-характеристики (708).
2. Ламповый генератор в случае ломаных характеристик без насыщения (709).
§8. Влияние сеточного тока на работу лампового генератора.......714
§9. Теория бифуркаций в случае автоколебательной системы, близкой
к линейной консервативной системе .................... 717
§10. Применение теории бифуркаций к исследованию режимов лампового генератора.................................719
1. Мягкое возникновение колебаний (721).
2. Жесткое возникновение колебаний (723).
ГЛАВА X
Разрывные колебания
§1. Введение.....................................727
§2. Малые параметры и устойчивость состояний равновесия.......733
1. Схема с вольтовой дугой (736).
2. Самовозбуждение мультивибратора (741).
§3. Малые паразитные параметры и разрывные колебания..........745
1. Разбиение «полного» фазового пространства на траектории (747).
2. Условие несущественности малых (паразитных) параметров (748).
3. Разрывные колебания (753).
§4. Разрывные колебания в системах второго порядка ........... 759
§5. Мультивибратор с одним RC-звеном....................771
1. Уравнения колебаний (772).
2. Фазовая плоскость х, у при m®0. Скачки напряжения u (774).
§6. Механические разрывные колебания.................... 780
§7. Два генератора электрических разрывных колебаний..........786
1. Схема с неоновой лампой (787).
2. Дннатронный генератор разрывных колебаний (789).
§8. Схема Фрюгауфа................................792
1. «Вырожденная» модель (793).
2. Постулат скачка (796).
3. Разрывные колебания схемы (797).
4. Учет паразитных емкостей (800).
§9. Мультивибратор с индуктивностью в анодной цепи..........804
1. Уравнения «медленных» движений (804).
2. Уравнения мультивибратора при учете паразитной емкости Са (807).
3. Разрывные колебания схемы (809).
§10. «Универсальная» схема............................818
§11. Блокинг-генератор...............................824
1. Уравнения колебаний (825).
2. Скачки напряжений и токов (828).
3. Разрывные колебания (832).
4. Разрывные автоколебания блокинг-генератора (841).
§12. Симметричный мультивибратор........................846
1. Уравнения колебаний (846).
2. Скачки напряжений u1, u2 (849).
3. Разрывные колебания мультивибратора (852).
§13. Симметричный мультивибратор (с сеточными токами) .........855
1. Уравнения колебаний. Скачки напряжений u1 и u2 (856).
2. Разрывные колебания (860).
3. Точечное преобразование П (867).
4. Диаграммы Ламерея. Мягкий и жесткий режимы установления разрывных автоколебаний (883). 5. Автоколебания мультивибратора при Eg³0 (886).
ДОПОЛНЕНИЕ I
Основные теоремы теории дифференциальных уравнений........892
ДОПОЛНЕНИЕ II
Экспериментальное изучение разбиения фазового пространства на
траектории при помощи электронного осциллографа.......898
ДОПОЛНЕНИЕ III
Некоторые тригонометрические формулы...................903
Литература.....................................905
Предметный указатель ..........................913