ОГЛАВЛЕНИЕ
Перечень таблиц.................................... 20
Предисловие переводчиков...............................23
Из предисловия авторов ко второму американскому изданию............25
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)
1.1. Введение. Система действительных чисел...................27
1.1-1. Вводные замечания (27).
1.1-2. Действительные числа (27).
1.1-3. Отношение равенства (28).
1.1-4.Отношение тождества (28).
1.1-5. Неравенства (28).
1.1-6. Абсолютные величины (28).
1.2. Степени, корни, логарифмы и факториалы. Обозначения сумм и произведений...............23
1.2-1. Степени и корни (28).
1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби (29).
1.2-3. Логарифмы (29).
1.2-4. Факториалы (30).
1.2-5. Обозначения сумм и произведений (30).
1.2-6. Арифметическая прогрессия (30).
1.2-7. Геометрическая прогрессия (30).
1.2-8. Некоторые числовые суммы (31).
1.3. Комплексные числа...............................31
1.3-1. Вводные замечания (31).
1.3-2. Изображение комплексных чисел точками или радиусами-векторами. Тригонометрическая форма комплексного числа (32).
1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни (32).
1.4. Различные формулы...............................33
1.4-1. Бином Ньютона и родственные формулы (33).
1.4-2. Пропорции (34).
1.4-3. Многочлены. Симметрические функции (34).
1.5. Определители ..................................35
1.5-1. Определение (35).
1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или по столбцу (35).
1.5-3. Примеры. (35).
1.5-4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа (36).
1.5-5. Различные теоремы (36).
1.5-6. Умножение определителей (37).
1.5-7. Изменение порядка определителей (37).
1.6. Алгебраические уравнения: общие теоремы.................. 37
1.6-1. Вводные замечания (37).
1.6-2. Решение уравнения. Корни (37).
1.6-3. Алгебраические уравнения (37).
1.6-4. Соотношения между корнями и коэффициентами (38).
1.6-5. Дискриминант алгебраического уравнения (38).
1.6-6. Действительные алгебраические уравнения и их корни (39).
1.7. Разложение многочленов на множители и деление многочленов. Элементарные дроби ....41
1.7-1. Разложение многочленов на множители (41).
1.7-2. Деление многочленов. Остаток (41).
1.7-3. Общие делители и общие корни двух многочленов (41).
1.7-4. Разложение на элементарные дроби (42).
1.8. Линейные, квадратные, кубичные уравнения и уравнения четвертой степени .......43
1.8-1. Решение линейных уравнений (43).
1.8-2. Решение квадратных уравнений (43).
1.8-3. Кубичные уравнения: решение Кардано(43).
1.8-4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение (44).
1.8-5. Уравнения четвертой степени: решение Декарта - Эйлера (44).
1.8-6. Уравнения четвертой степени: решение Феррари (44).
1.9. Системы уравнений...............................45
1.9-1. Системы уравнений (45).
1.9-2.Системы линейных уравнений: правило Крамера (45).
1.9-3. Линейная независимость(45).
1.9-4. Системы линейных уравнений: общая теория (46).
1.9-5. Системы линейных уравнений: n однородных уравнений с n неизвестными (46).
1-10. Формулы, описывающие плоские фигуры и тела...............47
1.10-1. Трапеция (47).
1.10-2. Правильные многоугольники (48).
1.10-3. Круг (48).
1.10-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы (48).
1.10-5. Тела вращения (48).
1.10-6. Правильные многогранники (49).
1-11. Тригонометрия на плоскости..........................49
1.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники (49).
1.11-2. Свойства плоских треугольников (50).
1.11-3. Формулы для решения треугольников (50).
1-12. Сферическая тригонометрия..........................51
1.12-1. Введение. Сферические треугольники (51).
1.12-2. Свойства сферических треугольников (52).
1.12-3. Прямоугольный сферический треугольник (53).
1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников (53).
ГЛАВА 2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Введение и основные понятия.........................56
2.1-1. Вводные замечания (56).
2.1-2. Декартова система координат (56).
2.1-3. Правая декартова прямоугольная система координат (57).
2.1-4. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах(57).
2.1-5. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей (58).
2.1-6. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей (58).
2.1-7. Одновременный перенос и поворот координатных осей (58).
2.1-8. Полярные координаты (59).
2.1-9. Способы задания кривых (60).
2.2. Прямая линия..................................60
2.2-1. Уравнение прямой линии(60).
2.2-2. Другие способы задания прямой (61)..
2.3. Взаимное расположение точек и прямых...................62
2.3-1. Точки и прямые (62).
2.3-2.Две или несколько прямых (62).
2.3-3. Тангенциальные координаты (63).
2.4. Кривые второго порядка (конические сечения)................64
2.4-1. Общее уравнение второй степени (64).
2.4-2. Инварианты (64).
2.4-3. Классификация кривых второго порядка (64).
2.4-4. Условие подобия невырожденных кривых второго порядка (64).
2.4-5.Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (64).
2.4-6. Центры и диаметры кривых второго порядка (64).
2.4-7. Главные оси (66).
2.4-8. Приведение уравнения кривой второго порядка к стандартному (каноническому) виду (66).
2.4-9. Геометрическое определение невырожденной кривой второго порядка (67).
2.4-10. Касательные и нормали к кривым второго порядка. Полюсы и поляры (67).
2.4-11. Другие способы задания кривых второго порядка (69).
2.5. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол............70
2.5-1. Окружность: формулы и теоремы (70).
2.5-2. Эллипс и гипербола: формулы и теоремы (70).
2.5-3. Построение эллипсов и гипербол, их касательных и нормалей (71).
2.5-4. Построение параболы, ее касательных и нормалей (73).
2.6. Уравнения некоторых плоских кривых....................73
2.6-1. Примеры алгебраических кривых (73). 2.6-2. Примеры трансцендентных кривых (74).
ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Введение и основные понятия.........................76
3.1-1. Вводные замечания (76).
3.1-2. Декартова система координат (76).
3.1-3. Правая система осей (76).
3.1-4. Правая декартова прямоугольная система координат (76).
3.1-5. Радиус-вектор (77).
3.1-6. Цилиндрическая и сферическая системы координат (77).
3.1-7. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах и в векторной форме (77).
3.1-8. Направляющие косинусы (78).
3.1-9. Проекции (79).
3.1-10. Вектор площади (79).
3.1-11. Вычисление объемов (79).
3.1-12. Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном переносе и повороте осей (79).
3.1-13. Аналитическое задание кривых (81).
3.1-14. Способы задания поверхностей (81).
3.1-15. Специальные типы поверхностей (82).
3.1-16. Поверхности и кривые (82).
3.2. Плоскость.................................... 83
3.2-1.Уравнение плоскости (83).
3.2-2.Параметрическое задание плоскости (84).
3.3. Прямая линия.................................. 84
3.3-1. Уравнения прямой (84).
3.3-2. Параметрические уравнения прямой (85).
3.4. Взаимное расположение точек, плоскостей и прямых............. 85
3.4-1. Углы (85).
3.4-2.Расстояния (86).
3.4-3. Специальные случаи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей(87).
3.4-4. Тангенциальные координаты плоскости и принцип двойственности (88).
3.4-5. Некоторые дополнительные соотношения (88).
3.5. Поверхности второго порядка......................... 89
3.5-1. Общее уравнение второй степени(89).
3.5-2. Инварианты (89).
3.5-3. Классификация поверхностей второго порядка(89).
3.5-4. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (89).
3.5-5. Диаметральные плоскости, диаметры и центры поверхностей второго порядка (91).
3.5-6.Главные плоскости и главные оси(91).
3.5-7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному (каноническому) виду (92).
3.5-8. Касательные плоскости и нормали поверхности второго порядка. Полюсы и поляры (93).
3.5-9. Некоторые дополнительные формулы и теоремы (96).
3.5-10. Параметрическое задание поверхностей второго порядка (97).
ГЛАВА 4
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1. Введение.....................................98
4.2. Функции..................................... 98
4.2-1. Функции и переменные (98).
4.2-2. Функции со специальными свойствами (99).
4.3. Точечные множества, интервалы и области.................. 93
4.3-1. Вводные замечания (99).
4.3-2. Свойства множеств (100).
4.3-3. Границы (100).
4.3-4. Интервалы (101).
4.3-5. Определение окрестностей (101).
4.3-6. Открытые и замкнутые множества и области (101).
4.4. Пределы, непрерывные функции и смежные вопросы............ 102
4.4-1. Пределы функций и последовательностей (102).
4.4-2. Операции над пределами (103).
4.4-3. Асимптотические соотношения между двумя функциями (103).
4.4-4. Равномерная сходимость (104).
4.4-5. Пределы по совокупности переменных и повторные пределы (104).
4.4-6. Непрерывные функции (104).
4.4-7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность (105).
4.4-8. Монотонные функции и функции ограниченной вариации (106).
4.5. Дифференциальное исчисление......................... 107
4.5-1. Производные и дифференцирование (107).
4.5-2. Частные производные (107).
4.5-3. Дифференциалы(109).
4.5-4. Правила дифференцирования (110).
4.5-5. Однородные функции (112).
4.5-6. Якобианы и функциональная зависимость (112).
4.5-7. Неявные функции (112).
4.6. Интегралы и интегрирование..........................113
4.6-1. Определенные интегралы (интеграл Римана) (113).
4.6-2. Несобственные интегралы (115).
4.6-3. Среднее значение (117).
4.6-4. Неопределенные интегралы(117).
4.6-5.Основная теорема интегрального исчисления(117).
4.6-6. Методы интегрирования (117).
4.6-7. Эллиптические интегралы (119).
4.6-8. Кратные интегралы (119).
4.6-9. Длина дуги спрямляемой кривой (120).
4.6-10. Криволинейные интегралы (120).
4.6-11. Площади и объемы (121).
4.6-12. Интегралы по поверхности и по объему (122).
4.6-13. Замена переменных в интегралах по объему и по поверхности (123).
4.6-14. Мера Лебега. Измеримые функции (123).
4.6-15. Интеграл Лебега (124).
4.6-16. Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности) (126).
4.6-17. Интеграл Стилтьеса (126).
4.6-18. Свертки (128).
4.6-19. Неравенства Минковского и Гельдера (123).
4.7. Теоремы о среднем значении. Раскрытие неопределенностей. Теоремы Вейерштрасса о приближении .129
4.7-1. Теоремы о среднем значении (129).
4.7-2. Раскрытие неопределенностей (130).
4.7-3. Теоремы Вейерштрасса о приближении (131).
4.8. Бесконечные ряды, бесконечные произведения и непрерывные дроби .... 131
4.8-1. Бесконечные ряды. Сходимость (131).
4.8-2. Ряды функций. Равномерная сходимость (132).
4.8-3.Операции над сходящимися рядами (132).
4.8-4. Операции над бесконечными рядами функций (133).
4.8-5. Улучшение сходимости и суммирование рядов. Суммы некоторых рядов (134).
4.8-6. Расходящиеся бесконечные ряды (136).
4.8-7.Бесконечные произведения (137).
4.8-8. Непрерывные (цепные) дроби (138).
4.9. Признаки сходимости и равномерной сходимости бесконечных рядов и несобственных интегралов ...........................139
4.9-1. Признаки сходимости бесконечных рядов (139).
4.9-2. Признаки равномерной сходимости бесконечных рядов (140).
4.9-3. Признаки сходимости несобственных интегралов (140).
4.9-4. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов (142).
4.10. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом.
Степенные ряды и ряд Тейлора........................142
4.10-1. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом (142).
4.10-2. Степенные ряды (143).
4.10-3.Теоремы Абеля и Таубера (145).
4.10-4. Ряд Тейлора (145).
4.10-5. Кратный ряд Тейлора (146).
4.11. Ряды Фурье и интегралы Фурье........................ 146
4.11-1. Вводные замечания (146).
4.11-2. Ряды Фурье (146).
4.11-3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье (148).
4.11-4. Функции, разложимые в ряд Фурье и представимые интегралом Фурье. Гармонический анализ (149).
4.11-5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье (156).
4.11-6. Интегралы Дирихле и Фейера (157).
4.11-7. Суммирование средними арифметическими (160).
4.11-8. Кратные ряды и интегралы Фурье (160).
Г Л А В А 5
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.1. Векторы в евклидовом пространстве......................162
5.2. Векторная алгебра...............................162
5.2-1. Сложение векторов и умножение вектора на (действительный) скаляр (162).
5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам (163).
5.2-3. Декартовы прямоугольные координаты вектора (163).
5.2-4. Векторы и физические размерности (163).
5.2-5. Модуль (норма, абсолютная величина, длина) вектора (164).
5.2-6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов (164).
5.2-7. Векторное произведение двух векторов (164).
5.2-8. Смешанное (векторно-скалярное) произведение (165).
5.2-9. Другие произведения, содержащие более двух векторов (166).
5.2-10. Разложение вектора а по направлению единичного вектора u и ему перпендикулярному (166).
5.2-11. Решение уравнений (166).
5.3. Векторные функции скалярного аргумента................... 166
5.3-1. Векторные функции и их пределы (166).
5.3-2. Дифференцирование (166).
5.3-3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнения (167).
5.4. Скалярные и векторные поля......................... 168
5.4-1. Вводные замечания (168).
5.4-2. Скалярные поля (168).
5.4-3. Векторные поля (168).
5.4-4. Векторный элемент линии и длина дуги (168).
5.4-5. Криволинейные (линейные) интегралы (169).
5.4-6.Поверхностные интегралы (169).
5.4-7. Объемные интегралы (170).
5.5. Дифференциальные операторы......................... 170
5.5-1. Градиент, дивергенция и ротор; инвариантные определения (170).
5.5-2. Оператор ( (171).
5.5-3. Полный дифференциал, полная производная и производная по направлению (172).
5.5-4. Производные высших порядков по направлению. Ряд Тейлора (173).
5.5-5. Оператор Лапласа (173).
5.5-6. Операции второго порядка (173).
5.5-7. Операции над простейшими функциями от r (174).
5.5-8. Функции от двух и более радиусов-векторов (174).
5.6. Интегральные теоремы.............................175
5.6-1. Теорема о дивергенции и связанные с ней теоремы (175).
5.6-2. Теорема о роторе и связанные с ней теоремы (176).
5.6-3. Поля с разрывами на поверхностях (176).
5.7. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции.......... 175
5.7-1. Безвихревое векторное поле (176).
5.7-2. Соленоидальные (трубчатые) векторные поля (177).
5.7-3. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции (177).
Г Л А В А 6
СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
6.1. Вводные замечания............................... 179
6.2. Системы криволинейных координат..................... 179
6.2-1. Криволинейные координаты (179).
6.2-2. Координатные поверхности и координатные линии (179).
6.2-3. Элементы длины дуги и объема (179).
6.3. Криволинейные координаты вектора......................180
6.3-1. Координаты вектора и локальный (местный) базис (180).
6.3-2. Физические координаты вектора (182).
6.3-3. Контравариантные и ковариантные координаты вектора (182).
6.3-4. Запись векторных соотношений в криволинейных координатах (183).
6.4. Системы ортогональных координат. Векторные соотношения в ортогональных координатах ...............................183
6.4-1. Ортогональные координаты (183).
6.4-2. Векторные соотношения (184).
6.4-3. Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл и объемный интеграл (185).
6.5. Формулы для специальных систем ортогональных координат ........................... 185
ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.1. Вводные замечания............................... 197
7.2. Функции комплексного переменного. Области в комплексной плоскости 197
7.2-1. Функции комплексного переменного (197).
7.2-2. z-плоскость и w-плоскость. Окрестности. Бесконечно удаленные точки (197).
7.2-3. Кривые и контуры (200).
7.2-4. Границы и области (200).
7.2-5. Комплексные контурные интегралы (200).
7.3. Аналитические (регулярные, голоморфные) функции............ 201
7.3-1. Производная функция (201).
7.3-2. Уравнения Коши - Римана (201).
7.3-3. Аналитические функции (202).
7.3-4. Свойства аналитических функций (202).
7.3-5. Теорема о максимуме модуля (203).
7.4. Многозначные функции............................. 203
7.4-1. Ветви (203).
7.4-2. Точки разветвления и разрезы (203).
7.4-3. Римановы поверхности (204).
7.5. Интегральные теоремы и разложения в ряды ................. 205
7.5-1. Интегральные теоремы (205).
7.5-2. Разложение в ряд Тейлора (206).
7.5-3. Разложение в ряд Лорана (206).
7.6. Нули и изолированные особые точки..................... 207
7.6-1. Нули (207).
7.6-2. Особые точки (207).
7.6-3. Нули и особенности в бесконечности (209).
7.6-4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара (209).
7.6-5. Целые функции (209).
7.6-6. Разложение целой функции в произведение (210).
7.6-7. Мероморфные функции (210).
7.6-8. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (211).
7.6-9. Нули и полюсы мероморфных функций (211).
7.7. Вычеты и контурные интегралы........................ 211
7.7-1. Вычеты (211).
7.7-2. Теорема о вычетах (212).
7.7-3. Вычисление определенных интегралов (212).
7.7-4.Применение вычетов к суммированию рядов (213).
7.8. Аналитическое продолжение.......................... 214
7.8-1. Аналитическое продолжение и моногенные аналитические функции (214).
7.8-2. Методы аналитического продолжения (214).
7.9. Конформное отображение............................ 215
7.9-1. Конформное отображение (215).
7.9-2. Дробно-линейное отображение (преобразование) (216).
7.9-3. Отображение (217).
7.9-4. Интеграл Шварца - Кристоффеля (217).
7.9-5. Таблица отображений (218).
7.9-6. Функции, отображающие специальные области на единичный круг (227).
ГЛАВА 8
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
8.1. Вводные замечания............................... 228
8.2. Преобразование Лапласа............................ 228
8.2-1. Определение (228).
8.2-2. Абсолютная сходимость (228).
8.2-3. Область определения (229).
8.2-4. Достаточные условия существования преобразования Лапласа (229).
8.2-5. Обратное преобразование Лапласа (229).
8.2-6. Теорема обращения (229).
8.2-7. Существование обратного преобразования Лапласа (230).
8.2-8. Единственность преобразования Лапласа и его обращения (230).
8.3. Соответствие между операциями над оригиналами и изображениями . . . 230
8.3-1. Таблица соответствия операций (230).
8.3-2. Преобразования Лапласа периодических функций и произведений оригиналов на синус или косинус (230).
8.3-3. Преобразование произведения (теорема о свертке) (233).
8.3-4. Предельные теоремы (233).
8.4. Таблицы преобразования Лапласа и вычисление обратных преобразований
Лапласа .....................................234
8.4-1. Таблицы преобразования Лапласа (234).
8.4-2. Вычисление обратных преобразований Лапласа (234).
8.4-3. Применение контурного интегрирования(234).
8.4-4.Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций: разложение Хевисайда (234).
8.4-5.Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций: разложение на простейшие дроби (252).
8.4-6. Разложения в ряды (252).
8.4-7. Разложения по степеням t (253).
8.4-8. Разложения по многочленам Лагерра (253).
8.4-9. Разложения в асимптотические ряды (254).
8.5. Формальное преобразование Лапласа импульсных функций ........ 255
8.6. Некоторые другие функциональные преобразования............. 256
8.6-1. Вводные замечания (256).
8.6-2. Двустороннее преобразование Лапласа (256).
8.6-3. Преобразование Лапласа в форме интеграла Стилтьеса (256).
8.6-4. Преобразования Ганкеля и Фурье - Бесселя (258).
8.7. Конечные интегральные преобразования, производящие функции и z-преобразование....... 260
8.7-1.Ряды как функциональные преобразования. Конечные преобразования Фурье и Ганкеля (260).
8.7-2. Производящие функции (260).
8.7-3. z-преобразование. Определение и формула обращения (263),
ГЛАВА 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
9.1. Введение..................................... 265
9.1-1. Вводные замечания (265).
9.1-2.Обыкновенные дифференциальные уравнения (265).
9.1-3. Системы дифференциальных уравнений (266).
9.1-4. Существование решений (266).
9.1-5. Общие указания (266).
9.2. Уравнения первого порядка.......................... 265
9.2-1. Существование и единственность решений (266).
9.2-2.Геометрическое толкование. Особые интегралы (267).
9.2-3. Преобразование переменных (268).
9.2-4. Решение специальных типов уравнений первого порядка (268).
9.2-5. Общие методы интегрирования (270).
9.3. Линейные дифференциальные уравнения................... 271
9.3-1. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип наложения (271).
9.3-2. Линейная независимость и фундаментальные системы решений (271).
9.3-3. Решение методом вариации постоянных. Функции Грина (272).
9.3-4. Приведение двухточечных краевых задач к задачам Коши (275).
9.3-5. Линейные дифференциальные уравнения в комплексной области. Тейлоровские разложения решения и влияние особенностей (275).
9.3-6. Решение однородных уравнений путем разложения в ряд в окрестности правильной особой точки(276).
9.3-7.Методы интегральных преобразований (277).
9.3-8. Линейные уравнения второго порядка (278).
9.3-9.Гипергеометрическое дифференциальное уравнение Гаусса и Р-уравнение Римана (279).
9.3-10. Вырожденные гипергеометрические функции (282).
9.3-11. Обобщенные гипергеометрические ряды (283).
9 4 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 283
9.4-1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами (283).
9.4-2. Неоднородные уравнения (285).
9.4-3. Свертки и функции Грина (286).
9.4-4. Устойчивость (287).
9.4-5. Операторный метод решения (288).
9.4-6. Периодические внешние нагрузки и решения (289).
9.4-7. Передаточные функции и частотные характеристики (290).
9.4-8. Нормальные координаты и собственные колебания (291).
9.5. Нелинейные уравнения второго порядка................... 292
9.5-1. Вводные замечания (292).
9.5-2. Представление на фазовой плоскости. Графический метод решения (292).
9.5-3. Особые точки и предельные циклы (293).
9.5-4. Устойчивость решений по Ляпунову (294).
9.5-5. Приближенный метод Крылова и Боголюбова (296).
9.5-6. Интеграл живых сил (297).
9.6. Дифференциальные уравнения Пфаффа.....................298
9.6-1. Дифференциальные уравнения Пфаффа (298).
9.6-2. Вполне интегрируемый случай (298).
ГЛАВА 10
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
10.1. Введение и обзор................................299
10.1-1. Вводные замечания (299).
10.1-2. Дифференциальные уравнения с частными производными (299).
10.1-3. Решение дифференциальных уравнений с частными производными; разделение переменных (300).
10.2. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 301
10.2-1.Уравнения с двумя независимыми переменными. Геометрическая интерпретация (301).
10.2-2. Задача с начальными условиями (задача Коши) (302).
10.2-3. Полные интегралы. Общие, частные, особые интегралы; решения характеристических уравнений (303).
10.2-4. Уравнения с n независимыми переменными (304).
10.2-5. Преобразования соприкосновения (306).
10.2-6. Канонические уравнения и канонические преобразования(307).
10.2-7. Уравнение Гамильтона - Якоби. Решение канонических уравнений (310).
10.3. Гиперболические, параболические и эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными. Характеристики............312
10.3-1. Квазилинейные уравнения с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными. Характеристики (312).
10.3-2. Решение гиперболических уравнений методом характеристик (313).
10.3-3. Преобразование гиперболических, параболических и эллиптических уравнений к каноническому виду (314).
10.3-4. Типичные краевые задачи для уравнений второго порядка (315).
10.3-5. Одномерное волновое уравнение (316).
10.3-6. Метод Римана - Вольтерра для линейных гиперболических уравнений (317).
10.3-7. Уравнения с тремя и более независимыми переменными (318).
10.4. Линейные уравнения математической физики. Частные решения....... 319
10.4-1. Физические основы и обзор (319).
10.4-2. Линейные краевые задачи (321).
10.4-3.Частные решения уравнения Лапласа; трехмерный случай (322).
10.4-4.Частные решения для трехмерного уравнения Гельмгольца (324).
10.4-5. Частные решения двумерных задач (325).
10.4-6. Уравнение Шредингера (326).
10.4-7. Частные решения для уравнения теплопроводности и диффузии (326).
10.4-8. Частные решения для волнового уравнения. Синусоидальные волны (326).
10.4-9. Решение краевой задачи разложением в ортогональные ряды. Примеры (328).
10.5. Метод интегральных преобразований..................... 329
10.5-1. Общая теория (329).
10.5-2. Преобразование Лапласа по временно'й переменной (330).
10.5-3.Решение краевых задач методом интегральных преобразований. Примеры (331).
10.5-4. Формулы Дюамеля (332).
ГЛАВА 11
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
11.1. Вводные замечания............................... 333
11.2. Экстремумы функций одного действительного переменного......... 333
11.2-1. Локальные максимумы и минимумы (333).
11.2-2. Условия существования внутренних максимумов и минимумов (333).
11.3. Экстремумы функций двух и большего числа действительных переменных 334
11.3-1. Локальные максимумы и минимумы (334).
11.3-2. Формула Тейлора для приращения функции (334).
11.3-3. Условия существования внутренних максимумов и минимумов (334).
11.3-4. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа (335).
11.3-5. Численные методы (336).
11.4. Линейное программирование, игры и смежные вопросы........... 336
11.4-1. Задача линейного программирования (336).
11.4-2. Симплекс-метод (339).
11.4-3. Нелинейное программирование. Теорема Куна - Такера (342).
11.4-4. Введение в конечные игры двух партнеров с нулевой суммой (342).
11.5. Вариационное исчисление. Максимумы и минимумы определенных интегралов... 344
11.5-1. Вариации......(344).
11.5-2.Максимумы иминимумы определенных интегралов (345).
11.5-3. Решение вариационных задач (346).
11.6. Экстремали как решения дифференциальных уравнений: классическая теория ...346
11.6-1. Необходимые условия максимумов и минимумов (346).
11.6-2. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа (348).
11.6-3. Изопериметрические задачи (349).
11.6-4. Решение вариационных задач в случае, когда подынтегральная функция содержит производные высших порядков (350).
11.6-5. Вариационные задачи с неизвестными граничными значениями и неизвестными пределами интегрирования (350).
11.6-6. Задачи Больца и Майера (351).
11.6-7. Ломаные экстремали. Отражение, преломление и односторонние экстремумы (352).
11.6-8. Канонические уравнения и уравнение Гамильтона - Якоби (353).
11.6-9. Вариационные задачи в случае нескольких независимых переменных: максимумы и минимумы кратных интегралов (354).
11.6-10. Достаточные условия для максимума и минимума в простейшей задаче (355).
11.7. Решение вариационных задач прямыми методами.............. 355
11.7-1.Прямые методы (356).
11.7-2. Метод Релея - Ритца(357).
11.7-3. Приближение у(х) полигональными функциями (357).
11.8. Задачи управления и принцип максимума................... 357
11.8-1. Постановка задачи (357).
11.8-2. Принцип максимума Понтрягина (360).
11.8-3. Примеры (362).
11.8-4. Матричные обозначения в задачах управления (364).
11.8-5. Ограничения-неравенства для переменных состояния. Угловые условия (365).
11.8-6. Метод динамического программирования (366).
11.9. Шаговые задачи управления и динамическое программирование...... 363
11.9-1. Постановка задачи (366).
11.9-2. Принцип оптимальности Беллмана (367).
ГЛАВА 12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
12.1. Введение..................................... 333
12.1-1. Математические модели (368).
12.1-2. Обзор (369).
12.1-3. "Равенство" и отношения эквивалентности (369).
12.1-4. Преобразования, функции, операции (369). 12.1-5. Инвариантность (370).
12.1-6. Представление одной модели другой: гомоморфизмы и изоморфизмы (370).
12.2. Алгебра моделей с одной определяющей операцией: группы......... 371
12.2-1. Определение и основные свойства группы (371).
12.2-2. Подгруппы (371).
12.2-3. Циклические группы. Порядок элемента группы (372).
12.2-4. Произведения подмножеств. Смежные классы (372).
12.2-5. Сопряженные элементы и подгруппы. Нормальные делители. Фактор-группы (372).
12.2-6. Нормальный ряд. Композиционный ряд (372).
12.2-7. Центр. Нормализаторы (373).
12.2-8. Группы преобразований или операторов(373).
12.2-9. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Представление групп (373).
12.2-10. Аддитивные группы. Классы вычетов и сравнимость (374).
12.3. Алгебра моделей с двумя определяющими операциями: кольца, поля и
области целостности ................................ 374
12.3-1. Определения и основные теоремы (374).
12.3-2. Подкольца и подполя. Идеалы (375).
12.3-3. Расширения (375).
12.4. Модели, включающие в себя более одного класса математических объектов: линейные векторные пространства и линейные алгебры......... 375
12.4-1. Линейные векторные пространства (375).
12.4-2. Линейные алгебры (376).
12.5. Модели, допускающие определение предельных процессов: топологические
пространства ...................................377
12.5-1. Топологические пространства (377).
12.5-2. Метрические пространства (378).
12.5-3. Топология, окрестности и сходимость в метрическом пространстве (378).
12.5-4. Метрические пространства со специальными свойствами. Теория точечных множеств (379).
12.5-5. Примеры: пространства числовых последовательностей и функций (380).
12.5-6. Теорема Банаха о сжатых отображениях и последовательные приближения (382).
12.6. Порядок..................................... 382
12.6-1. Частично упорядоченные множества (382).
12.6-2. Линейно упорядоченные множества (382).
12.6-3. Упорядоченные поля (383).
12.7. Комбинации моделей: прямое произведение, топологическое произведение и прямая сумма.....383
12.7-1 Декартово произведение (383).
12.7-2. Прямое произведение групп (383).
12.7-3. Прямое произведение действительных векторных пространств (383).
12.7-4. Топологическое произведение (384).
12.7-5. Прямая сумма (384).
12.8. Булевы алгебры................................. 384
12.8-1. Булевы алгебры (384).
12.8-2. Булевы функции. Приведение к каноническому виду (385).
12.8-3. Отношение включения (386).
12.8-4. Алгебра классов (386).
12.8-5. Изоморфизм булевых алгебр. Диаграммы Венна (386).
12.8-6. Алгебры событий и символическая логика (387).
12.8-7. Представление булевых функций истинностными таблицами. Карты Карно(389).
12.8-8. Полная аддитивность. Алгебры меры (389).
ГЛАВА 13
МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
13.1. Вводные замечания............................... 390
13.2. Алгебра матриц и матричное исчисление................... 390
13.2-1. Прямоугольные матрицы (390).
13.2-2. Основные операции (392).
13.2-3.Нулевая и единичная матрицы; обратные матрицы (393).
13.2-4. Целочисленные степени квадратных матриц (393).
13.2-5. Матрицы как строительные блоки математических моделей (393).
13.2-6. Умножение на матрицы специального вида. Матрицы перестановки (394).
13.2-7. Ранг, след и определитель матрицы (394).
13.2-8. Разбиение матриц (394).
13.2-9. Клеточные матрицы. Прямые суммы (395).
13.2-10. Прямое (внешнее) произведение матриц (395).
13.2-11. Сходимость и дифференцирование (395).
13.2-12. Функции матриц (395).
13.3. Матрицы со специальными свойствами симметрии.............. 396
13.3-1. Транспонированная и эрмитово сопряженная матрица (396).
13.3-2. Матрицы со специальными свойствами симметрии (396).
13.3-3. Правила комбинирования (396).
13.3-4. Теоремы о разложении. Нормальные матрицы (397).
13.4. Эквивалентные матрицы, собственные значения, приведение к диагональному виду и смежные вопросы......................... 398
13.4-1. Эквивалентные и подобные матрицы (398).
13.4-2. Собственные значения и спектры квадратных матриц (398).
13.4-3. Приведение квадратной матрицы к треугольному виду. Алгебраическая кратность собственного значения (399).
13.4-4. Приведение матриц к диагональному виду(399).
13.4-5. Собственные значения и характеристическое уравнение матрицы (400).
13.4-6.Собственные значения клеточных матриц(прямых)сумм (401).
13.4-7. Теорема Кэли - Гамильтона и смежные вопросы (401).
13.5. Квадратичные и эрмитовы формы........................ 401
13.5-1. Билинейные формы (401).
13.5-2. Квадратичные формы (401).
13.5-3. Эрмитовы формы (402).
13.5-4. Преобразование квадратичных и эрмитовых форм. Приведение к сумме квадратов (402).
13.5-5. Одновременное приведение двух квадратичных или эрмитовых форм к сумме квадратов (404). 13.5-6.Признакиположительнойопределенности,неотрицательности
и т. д. (404).
13.6. Матричные обозначения для систем дифференциальных уравнений (динамических систем). Возмущения и теория устойчивости Ляпунова..... 405
13.6-1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Матричные обозначения (405).
13.6-2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (406).
13.6-3. Линейные системы с переменными коэффициентами (407).
13.6-4. Методы возмущений и уравнения в вариациях (408).
13.6-5. Устойчивость решений: определения (409).
13.6-6. Функции Ляпунова и устойчивость (410).
13.6-7. Приложения и примеры (411).
ГЛАВА 14
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ
14.1. Введение. Системы отсчета и преобразования координат.......... 414
14.1-1. Вводные замечания (414).
14.1-2. Числовое описание математических моделей: системы отсчета (414).
14.1-3. Преобразования координат(414).
14.1-4. Инвариантность (415).
14.1-5. Системы мер (415).
14.2. Линейные векторные пространства....................... 415
14.2-1. Определяющие свойства (415).
14.2-2. Линейные многообразия и подпространства в U (416).
14.2-3. Линейно независимые и линейно зависимые векторы (416).
14.2-4. Размерность линейного многообразия или векторного пространства. Базисы и системы координат (системы отсчета)(416). 14.2-5. Нормированные векторные пространства(417).
14.2-6. Унитарные векторные пространства (417).
14.2-7. Норма, метрика и сходимость в унитарных векторных пространствах. Гильбертовы пространства (418).
14.2-8. Теорема о проекции (419).
14.3. Линейные преобразования (линейные операторы).............. 419
14.3-1. Линейные преобразования векторных пространств. Линейные операторы (419).
14.3-2. Множество значений, ядро и ранг линейного преобразования(оператора)(419).
14.3-3. Сложение и умножение на скаляры. Нулевое преобразование (420).
14.3-4. Произведение двух линейных преобразований (операторов). Тождественное преобразование(420).
14.3-5. Невырожденные линейные преобразования (операторы). Обратные преобразования (операторы) (420).
14.3-6. Целые степени операторов (420).
14.4. Линейные операторы в нормированном или гильбертовом пространстве.
Эрмитовы и унитарные операторы........................421
14.4-1. Ограниченные линейные преобразования (421).
14.4-2. Ограниченные линейные операторы в нормированном векторном пространстве (421).
14.4-3. Сопряженный оператор (421).
14.4-4. Эрмитовы операторы (422).
14.4-5. Унитарные операторы (422).
14.4-6. Симметрические, кососимметрические и ортогональные операторы в действительных унитарных векторных пространствах (422).
14.4-7. Правила комбинирования (423).
14.4-8. Теоремы о разложении. Нормальные операторы (423).
14.4-9. Сопряженные векторные пространства. Более общее определение сопряженных операторов (424).
14.4-10.Бесконечно малые линейные преобразования (424).
14.5. Матричное представление векторов и линейных преобразований (операторов) .............. 425
14.5-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: "активная" точка зрения (425). 14.5-2. Матричное представление векторов и линейных преобразований (операторов) (426).
14.5-3. Матричные обозначения для систем линейных уравнений (426).
14.5-4. Диадическое представление линейных операторов (427).
14.6. Замена системы координат........................... 427
14.6-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: "пассивная" точка зрения (427). 14.6-2. Представление линейного оператора в различных базисах(428).
14.6-3.Последовательное применение операторов (428).
14.7. Представление скалярного произведения. Ортонормированные базисы . . . 429
14.7-1. Представление скалярного произведения (429).
14.7-2. Замена системы координат (430).
14.7-3. Ортогональные векторы и ортонормированные системы векторов (430).
14.7-4. Ортонормированные базисы (полные ортонормированные системы) (430).
14.7-5. Матрицы соответствующие сопряженным операторам (431).
14.7-6. Взаимные базисы (432).
14.7-7. Сравнение обозначений (433).
14.8. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов . . . 433
14.8-1. Вводные замечания (433).
14.8-2. Инвариантные многообразия. Разложимые линейные преобразования (линейные операторы) и матрицы (433).
14.8-3. Собственные векторы, собственные значения и спектр (434).
14.8-4. Собственные векторы и собственные значения нормальных и эрмитовых операторов (435).
14.8-5. Определение собственных значений и собственных векторов: конечномерный случай(436).
14.8-6.Приведение и диагонализация матриц. Преобразование к главным осям (437).
14.8-7. "Обобщенная" задача о собственных значениях (439).
14.8-8. Задачи о собственных значениях как задачи о стационарных значениях (439).
14.8-9. Границы для собственных значений линейных операторов (441).
14.8-10. Неоднородные линейные векторные уравнения (442).
14.9. Представления групп и смежные вопросы................... 443
14.9-1. Представления групп (443).
14.9-2. Приведение представлений (443).
14.9-3. Неприводимые представления группы (444).
14.9-4. Характер представления (445).
14.9-5. Соотношения ортогональности (445).
14.9-6. Прямые произведения представлений (446).
14.9-7. Представления колец, полей и линейных алгебр (446).
14.10. Математическое описание вращений...................... 446
14.10-1. Вращения в трехмерном евклидовом векторном пространстве (446).
14.10-2. Угол поворота. Ось вращения (447).
14.10-3. Параметры Эйлера и вектор Гиббса (448).
14.10-4. Представление векторов и вращений спиновыми матрицами и кватернионами. Параметры Кэли - Клейна (448).
14.10-5. Вращения вокруг осей координат (449).
14.10-6. Углы Эйлера (450).
14.10-7. Бесконечно малые вращения, непрерывное вращение и угловая скорость (452).
14.10-8. Группа трехмерных вращений и ее представления (454).
ГЛАВА 15
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
15.1. Введение. Функциональный анализ...................... 456
15.1-1. Вводные замечания (456).
15.1-2. Обозначения (456).
15.2. Функции как векторы. Разложения по ортогональным функциям..... 457
15.2-1. Квадратично интегрируемые функции как векторы. Скалярное произведение и нормирование (457).
15.2-2. Метрика и сходимость в L2. Сходимость в среднем (458).
15.2-3. Ортогональные функции и ортонормированные последовательности функций (459).
15.2-4. Полные ортонормированные последовательности функций. Ортонормированные базисы (459).
15.2-5. Ортогонализация и нормирование последовательности функций (460).
15.2-6. Аппроксимации и разложения в ряды по ортогональным функциям (460).
15.2-7. Линейные операции над функциями (460).
15.3. Линейные интегральные преобразования и линейные интегральные уравнения .............461
15.3-1.Линейные интегральные преобразования (461).
15.3-2.Линейные интегральные уравнения. Обзор(462).
15.3-3.Однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции и собственные значения (463).
15.3-4. Теоремы разложения (463).
15.3-5. Итерированные ядра (464).
15.3-6. Эрмитовы интегральные формы. Задача о собственных значениях как вариационная задача (465).
15.3-7. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода (465).
15.3-8. Решение линейного интегрального уравнения (16) (467).
15.3-9. Решение линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода (468).
15.3-10.Интегральные уравнения Вольтерра (469).
15.4. Линейные краевые задачи и задачи о собственных значениях для дифференциальных уравнений... 470
15.4-1. Линейные краевые задачи. Постановка задачи и обозначения (470).
15.4-2. Дополнительное дифференциальное уравнение и краевые условия
для линейной краевой задачи. Теоремы о суперпозиции (470).
15.4-3. Эрмитово сопряженные и сопряженные краевые задачи. Эрмитовы операторы (471).
15.4-4. Теорема Фредгольма об альтернативе (473).
15.4-5. Задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений (473).
15.4-6. Собственные значения и собственные функции эрмитовой задачи о собственных значениях. Полные ортонормированные множества собственных функций (474).
15.4-7. Эрмитова задача о собственных значениях как вариационная задача (475).
15.4-8. Одномерная задача Штурма - Лиувилля о собственных значениях (476).
15.4-9. Задача Штурма - Лиувилля для уравнений с частными производными второго порядка (477).
15.4-10. Теоремы сравнения (477).
15.4-11. Решение дискретных задач о собственных значениях методами возмущений (478).
15.4-12. Решение краевых задач посредством разложений в ряды по собственным функциям (479).
15.5. Функции Грина. Связь краевых задач и задач о собственных значениях
с интегральными уравнениями.........................480
15.5-1. Функции Грина для краевой задачи с однородными краевыми условиями (480).
15.5-2. Связь краевых задач и задач о собственных значениях с интегральными уравнениями. Резольвента Грина (481).
15.5-3. Приложение метода функций Грина к задаче с начальными условиями: обобщенное уравнение диффузии (482).
15.5-4. Метод функций Грина для неоднородных краевых условий (483).
15.6. Теория потенциала............................... 484
15.6-1. Введение. Дифференциальные уравнения Лапласа и Пуассона (484).
15.6-2. Трехмерная теория потенциала. Классические краевые условия задачи (484).
15.6-3. Теорема Кельвина об инверсии (485).
15.6-4. Свойства гармонических функций (485).
15.6-5. Решения уравнений Лапласа и Пуассона как потенциалы (486).
15.6-6. Решение трехмерных краевых задач посредством функций Грина (488).
15.6-7. Двумерная теория потенциала. Логарифмический потенциал (490).
15.6-8. Двумерная теория потенциала; сопряженные гармонические функции (490).
15.6-9. Решение двумерных краевых задач. Функции Грина и конформные отображения (492).
15.6-10. Распространение теории на более общие дифференциальные уравнения. Запаздывающие и опережающие потенциалы (493).
ГЛАВА 16
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
16.1. Введение..................................... 494
16.1-1. Вводные замечания (494).
16.1-2. Системы координат и допустимые преобразования (494). 16.1-3. Компоненты объектов. Индексные обозначения (494).
16.1-4. Системы отсчета и индуцированные преобразования. Геометрические объекты (495).
16.2. Абсолютные (истинные) тензоры и относительные тензоры (псевдотензоры) 496
16.2-1. Определение абсолютных и относительных тензоров, основанное на законе преобразования их компонент(496).
16.2-2. Инфинитезимальное перемещение. Градиент скалярного поля (498).
16.3. Тензорная алгебра: определение основных операций ............ 499
16.3-1. Равенство тензоров (499).
16.3-2. Нуль-тензор (499).
16.3-3. Сложение тензоров (499).
16.3-4. Умножение тензора на абсолютный скаляр (499).
16.3-5. Свертывание смешанного тензора (499). 16.3-6. Произведение (внешнее) двух тензоров (500).
16.3-7. Внутреннее произведение (500). 16.3-8. Признак тензора (500).
16.4. Тензорная алгебра. Инвариантность тензорных уравнений.........501
16.4-1. Инвариантность тензорных уравнений (501).
16.5. Симметричные и антисимметричные тензоры.................502
16.5-1. Симметричные и антисимметричные объекты (502).
16.5-2. Символы Кронекера (502).
16.5-3. е-объекты (символы Леви-Чивита) (503).
16.5-4. Альтернированное произведение двух векторов (503).
16.6. Локальная система базисных векторов (локальный базис)......... 504
16.6-1. Выражение векторов и тензоров через векторы локального базиса (504).
16.6-2. Преобразование локального базиса при преобразовании координат (504).
16.7. Тензоры в римановых пространствах. Ассоциированные тензоры...... 505
16.7-1. Риманово пространство и фундаментальные тензоры (505).
16.7-2. Ассоциированные тензоры. Поднятие и опускание индексов (506).
16.7-3. Эквивалентность ассоциированных тензоров (506). 16.7-4. Операции над тензорами в римановых пространствах (507).
16.8. Скалярное произведение векторов и связанные с ним понятия....... 507
16.8-1. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов в римановом пространстве (507).
16.8-2. Скалярные произведения локальных базисных векторов. Ортогональная система координат (507). 16.8-3. Физические компоненты тензора (508).
16.8-4. Векторное произведение и смешанное произведение (508):
16.9. Тензоры ранга 2 в римановом пространстве.................. 509
16.9-1. Диадные произведения (509).
16.9-2. Умножение тензоров ранга 2
и векторов и связанная с ним система обозначений (510).
16.9-3. Собственные векторы и собственные значения (510).
16.10. Абсолютное дифференциальное исчисление. Ковариантное дифференцирование ........510
16.10-1. Абсолютные дифференциалы (510).
16.10-2. Абсолютный дифференциал относительного тензора (512).
16.10-3. Символы Кристоффеля (512).
16.10-4. Ковариантиое дифференцирование (513).
16.10-5. Правила ковариантного дифференцирования (514).
16.10-6, Ковариантные производные высших порядков (514).
16.10-7. Дифференциальные операторы и дифференциальные инварианты (515).
16.10-8. Абсолютные (внутренние) производные и производные по направлению (515).
16.10-9. Тензоры, постоянные вдоль кривой. Уравнения параллелизма (517).
16.10-10. Интегрирование тензорных величин. Элемент объема (517).
16.10-11. Дифференциальные инварианты тензоров ранга 2; интегральные теоремы (517).
ГЛАВА 17 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
17.1. Кривые на евклидовой плоскости....................... 518
17.1.1. Касательная к плоской кривой (518).
17.1-2. Нормаль к плоской кривой (518).
17.1-3. Особые точки (519).
17.1-4. Кривизна плоской кривой (519).
17.1-5. Порядок касания плоских кривых (520).
17.1-6. Асимптоты (520).
17.1-7. Огибающая семейства плоских кривых (520).
17.1-8. Изогональные траектории (520).
17.2. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве............... 521
17.2-1.Вводные замечания (521).
17.2-2. Подвижной трехгранник (521).
17.2-3. Формулы Фроне - Серре. Кривизна и кручение пространственной кривой (522).
17.2-4. Уравнения касательной, нормали и бинормали; уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей(523).
17.2-5. Дополнительные замечания (523).
17.2-6. Порядок касания (524).
17.3. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве............ 524
17.3-1. Вводные замечания (524).
17.3-2. Касательная плоскость и нормаль
к поверхности (524).
17.3-3. Первая основная квадратичная форма поверхности. Дифференциал длины дуги и элемент площади (525).
17.3-4. Геодезическая и нормальная кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье (526).
17.3-5. Вторая основная квадратичная форма. Главные кривизны, гауссова кривизна и средняя кривизна (527).
17.3-6. Некоторые направления и кривые на поверхности. Минимальные поверхности (528).
17.3-7. Поверхности как римановы пространства. Трехиндексные символы Кристоффеля и параметры Бельтрами (529).
17.3-8. Уравнения с частными производными, связывающие коэффициенты основных квадратичных форм. Theorema Egregium Гаусса (530).
17.3-9. Определение поверхности коэффициентами ее основных квадратичных форм (530).
17.3-10. Отображения (530).
17.3-11. Огибающие (531).
17.3-12. Геодезические линии поверхности (531).
17.3-13. Геодезические нормальные координаты. Геометрия на поверхности (532). 17.3-14. Теорема Гаусса - Бонне (533).
17.4. Пространства с кривизной........................... 533
17.4-1. Вводные замечания(533).
17.4-2.Кривые, длины и направления
в римановом пространстве (533).
17.4-3. Геодезические линии в римановом пространстве (534).
17.4-4. Римановы пространства с неопределенной метрикой. Изотропные направления и геодезические нулевой длины (535).
17.4-5. Тензор кривизны риманова пространства (535).
17.4-6. Геометрическое истолкование тензора кривизны. Плоские пространства и евклидовы пространства (536).
17.4-7. Специальные координатные системы (537).
ГЛАВА 18
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
18.1. Введение..................................... 539
18.1-1. Вводные замечания (539).
18.2. Определение и представление вероятностных моделей............ 539
18.2-1. Алгебра событий, связанных сданным испытанием (539).
18.2-2. Определение вероятности. Условные вероятности (540).
18.2-3. Независимость случайных событий (540).
18.2-4. Сложные испытания. Независимые испытания и повторные независимые испытания (540).
18.2-5. Правила сочетаний (541).
18.2-6. Теоремы Байеса (542).
18.2-7. Представление событий как множеств в пространстве выборок (542).
18.2-8. Случайные величины (542).
18.2-9. Описание вероятностных моделей на языке случайных величин и их функций распределения (542).
18.3. Одномерные распределения вероятностей................... 543
18.3-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей (543).
18.3-2. Непрерывные одномерные распределения вероятностей (543).
18.3-3. Математическое ожидание и дисперсия. Числовые характеристики одномерного распределения вероятностей (544).
18.3-4. Нормирование (546).
18.3-5. Неравенство Чебышева и связанные с ним формулы (546).
18.3-6. Единое описание распределений вероятностей с помощью интеграла Стилтьеса (546).
18.3-7. Моменты одномерного распределения вероятностей (547).
18.3-8. Характеристические и производящие функции (548).
18.3-9. Семиинварианты (549).
18.3-10. Вычисление моментов и семиинвариантов через (x (q), Mx(s) и (x(s). Соотношения между моментами и семиинвариантами (549).
18.4. Многомерные распределения вероятностей.................. 550
18.4-1. Многомерные случайные величины (550).
18.4-2. Двумерные распределения вероятностей. Распределения координат случайной величины (550).
18.4-3. Дискретные и непрерывные двумерные распределения вероятностей (550).
18.4-4. Математическое ожидание, моменты, ковариация и коэффициент корреляции (551).
18.4-5. Условные распределения вероятностей, связанные с двумя случайными величинами (552).
18.4-6. Регрессии (553).
18.4-7. n-мерные распределения вероятностей (553).
18.4-8. Математические ожидания и моменты (555).
18.4-9. Регрессия. Коэффициенты корреляции (556).
18.4-10. Характеристические функции (557).
18.4-11. Независимость случайных величин (557).
18.4-12. Энтропия распределения вероятностей (558).
18.5. Функции от случайных величин. Замена переменных............559
18.5-1.Вводные замечания (559).
18.5-2. Функции (или преобразования) одномерной случайной величины (559).
18.5-3. Линейные преобразования одномерной случайной величины (560). 18.5-4. Функции (или преобразования) многомерных случайных величин (561).
18.5-5. Линейные преобразования (562).
18.5-6. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин (562).
18.5-7. Суммы независимых случайных величин (563).
18.5-8. Распределение суммы случайного количества случайных величин(564).
18.6. Сходимость по вероятности и предельные теоремы............... 564
18.6-1. Последовательность распределений вероятностей. Сходимость по вероятности (564).
18.6-2. Пределы функций распределения, характеристических и производящих функций. Теоремы непрерывности (564).
18.6-3. Сходимость в среднем (565).
18.6-4. Асимптотически нормальные распределения вероятностей (565).
18.6-5. Предельные теоремы (565).
18.7. Специальные методы решения вероятностных задач............. 566
18.7-1. Вводные замечания (566).
18.7-2. Задачи с дискретным распределением вероятностей: подсчет событий и комбинаторный анализ (567).
18.7-3. Применение производящих функций. Теорема Пойа (569).
18.7-4. Задачи с дискретным распределением вероятностей: успехи и неудачи в составляющих испытаниях (571).
18.8. Специальные распределения вероятностей................... 571
18.8-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей (571).
18.8-2. Дискретные многомерные распределения вероятностей (573).
18.8-3.Непрерывные распределения вероятностей: нормальное распределение (Гаусса) (575).
18.8-4. Нормальные случайные величины: распределение отклонений
от центра (576).
18.8-5. Различные непрерывные одномерные распределения вероятностей (582).
18.8-6. Двумерные нормальные распределения (582).
18.8-7. Круговое нормальное распределение (583). 18.8-8. n-мерные нормальные распределения (583).
18.8-9. Теоремы сложения для специальных распределений (583).
18.9. Теория случайных процессов.......................... 584
18.9-1. Случайные процессы (584).
18.9-2. Описание случайных процессов (584).
18.9-3. Средние по множеству наблюдений. Корреляционные функции (585).
18.9-4. Интегрирование и дифференцирование случайных функций (586).
18.9-5. Процессы, определяемые случайными параметрами (588).
18.9-6. Разложение по ортонормированной системе (588).
18.10. Стационарные случайные процессы. Корреляционные функции и спектральные плотности 589
18.10-1. Стационарные случайные процессы (589).
18.10-2. Корреляционные функции по множеству наблюдений (589).
18.10-3. Спектральная плотность
по множеству наблюдений (590).
18.10-4. Корреляционные функции и спектры действительных процессов (590).
18.10-5. Спектральное разложение средней "мощности" действительных процессов (590).
18.10-6. Другие виды спектральной плотности по множеству наблюдений (591).
18.10-7. Средние по времени и эргодические процессы (591).
18.10-8. Корреляционные функции и спектральные плотности по времени (592).
18.10-9. Функции с периодическими компонентами (593).
18.10-10. Обобщенные преобразования Фурье и спектральные функции (595).
18.11. Типы случайных процессов. Примеры..................... 596
18.11-1. Процессы с постоянными и периодическими реализациями (596).
18.11-2. Процессы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова (598).
18.11-3. Гауссовские случайные процессы (599).
18.11-4. Марковские процессы и процесс Пуассона (599).
18.11-5. Некоторые случайные процессы.
порождаемые процессом Пуассона (601).
18.11-6. Случайные процессы, порождаемые периодической выборкой (602).
18.12. Действия над случайными процессами .................... 603
18.12-1. Корреляционные функции и спектры сумм (603).
18.12-2. Соотношения между входным и выходным сигналами для линейных систем (604).
18.12-3. Стационарный случай (604).
18.12-4. Соотношения для корреляционных функций и спектров по времени (605).
18.12-5. Нелинейные операции (605).
18.12-6. Нелинейные операции над гауссовскими процессами (606).
ГЛАВА 19
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
19.1. Введение в статистические методы....................... 607
19.1-1. Статистики (607).
19.1-2. Классическая вероятностная модель: статистики случайной выборки. Понятие о генеральной совокупности (607).
19.1-3. Связь вероятностной модели с опытом: оценка и проверка (608).
19.2. Статистическое описание. Определение и вычисление статистик случайной выборки ..... 609
19.2-1. Относительные частоты (609).
19.2-2. Распределение выборки. Группированные данные (609).
19.2-3. Выборочные средние (610).
19.2-4. Выборочные дисперсии и моменты (611).
19.2-5. Упрощенное вычисление выборочных средних и дисперсий. Поправка на группировку (612).
19.2-6. Размах выборки (613).
19.3. Типовые распределения вероятностей..................... 613
19.3-1. Вводные замечания (613).
19.3-2. Класс распределений Кэптейна (613).
19.3-3. Ряды Грама - Шарлье и Эджворта (614).
19.3-4. Усеченные нормальные распределения и распределение Парето (614).
19.3-5. Типы распределений Пирсона (615).
19.4. Оценки параметров............................... 615
19.4-1. Свойства оценок (615).
19.4-2. Некоторые свойства статистик, применяемых в качестве оценок (616).
19.4-3. Нахождение оценок. Метод моментов (617).
19.4-4. Метод наибольшего правдоподобия (617).
19.4-5. Другие методы нахождения оценок (618).
19.5. Выборочные распределения........................... 618
19.5-1. Вводные замечания (618).
19.5-2. Асимптотически нормальные выборочные распределения (618).
19.5-3. Выборки из нормальной совокупности. Распределения (2, t и v2 (619).
19.5-4. Распределение размаха выборки (619).
19.5-5. Выборочный метод для конечной совокупности (620).
19.6. Проверка статистических гипотез....................... 630
19.6-1. Статистические гипотезы (630).
19.6-2. Критерии с фиксированной выборкой; определения (630).
19.6-3. Уровень значимости. Правило Неймана - Пирсона отбора критериев для простых гипотез (630).
19.6-4. Критерии значимости (632).
19.6-5. Доверительная область (632).
19.6-6. Критерии сравнения нормальных совокупностей. Дисперсионный анализ (634).
19.6-7. Критерий согласия (2 (637).
19.6-8. Непараметрическое сравнение
двух совокупностей: критерий знаков (638).
19.6-9.Обобщения (638).
19.7. Некоторые статистики, выборочные распределения и критерии для многомерных распределений.. 638
19.7-1. Вводные замечания (638).
19.7-2. Статистики, получаемые на основе многомерных выборок (638).
19.7-3. Оценки параметров (639).
19.7-4. Выборочные распределения в случае нормальной совокупности (640).
19.7-5. Выборочная средняя квадратическая сопряженность признаков. Критерий независимости двух случайных величин, основанный на таблице сопряженности признаков (642).
19.7-6. Порядковая корреляция по Спирмену. Непараметрический критерий независимости (642).
19.8. Статистики и измерения случайного процесса................. 643
19.8-1. Средние по конечному промежутку времени (643).
19.8-2. Усредняющие фильтры (644). 19.8-3. Примеры (645).
19.8-4. Выборочные средние (646).
19.9. Проверка и оценка в задачах со случайными параметрами......647
19.9-1. Постановка задачи (647).
19.9-2. Оценка и проверка с помощью формул Байеса (648).
19.9-3. Случай двух состояний, проверка гипотез (648).
19.9-4. Оценки по методу наименьших квадратов (650).
Г Л А В А 20
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
20.1. Введение...................................... 652
20.1-1. Вводные замечания (652). 20.1-2. Ошибки (652).
20.2. Численное решение уравнений......................... 652
20.2-1. Вводные замечания (652).
20.2-2. Итерационные методы (653).
20.2-3. Вычисление значений многочлена (655).
20.2-4. Численное решение алгебраических уравнений. Итерационные методы (655).
20.2-5. Специальные методы решения алгебраических уравнений (656).
20.2-6. Системы уравнений и экстремальные задачи (659).
20.2-7. Градиентные методы (660).
20.2-8. Метод Ньютона и теорема Канторовича (661).
20.3. Системы линейных уравнений и обращение матриц. Собственные значения и собственные векторы матриц...................... 662
20.3-1. Методы исключения (662).
20.3-2. Итерационные методы (663).
20.3-3. Обращение матриц (665).
20.3-4. Решение системы линейных уравнений и обращение матриц при помощи разбиения на клетки (666).
20.3-5. Собственные значения и собственные векторы матриц (667).
20.4. Конечные разности и разностные уравнения................. 668
20.4-1. Конечные разности и центральные средние (668).
20.4-2. Операторные обозначения (669). 20.4-3. Разностные уравнения (670).
20.4-4. Линейные обыкновенные разностные уравнения (671).
20.4-5. Линейные обыкновенные разностные уравнения с постоянными коэффициентами (672).
20.4-6. Методы преобразований для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами(672).
20.4-7. Системы обыкновенных разностных уравнений. Матричная запись (674).
20.4-8. Устойчивость (675).
20.5. Интерполяция функций............................. 675
20.5-1. Вводные замечания (675).
20.5-2. Общие формулы параболической интерполяции (значения аргумента могут быть и неравно отстоящими) (675).
20.5-3. Интерполяционные формулы для равноотстоящих значений аргумента. Ромбовидные диаграммы (677).
20.5-4. Обратная интерполяция (677).
20.5-5. Интерполяция с оптимальным выбором узлов (682).
20.5-6. Интерполяция функций нескольких переменных(682).
20.5-7.Обратные разности и интерполяция рациональными дробями (683).
20.6. Аппроксимация функций ортогональными многочленами, отрезками ряда
Фурье и другими методами........................... 683
20.6-1.Вводные замечания (683).
20.6-2.Приближения функций многочленами по методу наименьших квадратов на интервале (683). 20.6-3. Приближения функций многочленами по методу наименьших квадратов на дискретном множестве точек (684).
20.6-4. Равномерные приближения (686).
20.6-5. Экономизация степенных рядов (686).
20.6-6. Численный гармонический анализ и тригонометрическая интерполяция (687).
20.6-7. Разные приближения (693).
20.7. Численное дифференцирование и интегрирование.............. 695
20.7-1. Численное дифференцирование (695).
20.7-2. Численное интегрирование для равноотстоящих узлов(696).
20.7-3. Квадратурные формулы Гаусса и Чебышева (698).
20.7-4. Построение и сравнение квадратурных формул (700).
20.7-5. Вычисление кратных интегралов (700).
20.8. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 701
20.8-1.Вводные замечания (701).
20.8-2.Одношаговые методы решения задачи Коши. Методы Эйлера и Рунге - Кутта (701).
20.8-3. Многошаговые методы решения задачи Коши (703).
20.8-4. Улучшенные многошаговые методы (704).
20.8-5. Сравнение различных методов решения. Контроль величины шага и устойчивость (704).
20.8-6. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений (706).
20.8-7. Специальные формулы для уравнений второго порядка (707).
20.8-8. Анализ частотных характеристик (708).
20.9. Численное интегрирование уравнений с частными производными, краевые
задачи; интегральные уравнения........................ 709
20.9-1. Вводные замечания (709).
20.9-2. Двухточечная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений(709).
20.9-3. Обобщенный метод Ньютона (квазилинеаризация) (710).
20.9-4. Разностные методы численного решения уравнений с частными производными для случая двух независимых переменных (710).
20.9-5. Двумерные разностные операторы (711).
20.9-6. Представление краевых условий (711).
20.9-7. Задачи, содержащие более двух независимых переменных (714).
20.9-8. Пригодность разностных схем. Условия устойчивости (714).
20.9-9. Методы аппроксимирующих функций для численного решения краевых задач (715).
20.9-10. Численное решение интегральных уравнений (716).
20.10. Методы Монте-Карло..............................717
20.10-1. Методы Монте-Карло (717).
20.10-2. Два метода уменьшения дисперсии оценки (718).
20.10-3. Использование предварительной информации. Метод значимой выборки (719).
20.10-4. Некоторые методы генерирования случайных чисел. Проверка случайности (719).
ГЛАВА 21
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
21.1. Введение.....................................720
21.1-1. Вводные замечания (720).
21.2. Элементарные трансцендентные функции...................720
21.2-1. Тригонометрические функции (720).
21.2-2. Соотношения между тригонометрическими функциями (722).
21.2-3. Теоремы сложения и формулы
для кратных углов (723).
21.2-4. Обратные тригонометрические функции (724). 21.2-5. Гиперболические функции (725).
21.2-6. Соотношения между гиперболическими функциями (726).
21.2-7. Формулы сложения для гиперболических функций (726).
21.2-8. Обратные гиперболические функции (727).
21.2-9. Соотношения между показательной, тригонометрическими и гиперболическими функциями (728).
21.2-10. Определение логарифма (728).
21.2-11. Соотношения между обратными тригонометрическими, обратными гиперболическими и логарифмической функциями (729).
21.2-12. Разложения в степенные ряды (729).
21.2-13. Разложения в бесконечные произведения (730).
21.2-14. Некоторые полезные неравенства (730).
21.3. Некоторые интегральные функциях.......................730
21.3-1.Интегральные синус, косинус, логарифм и показательная функция (730).
21.3-2.Интегралы Френеля и интеграл вероятностей (738).
21.4. Гамма-функция и связанные с ней функции.................739
21.4-1. Гамма-функция (739).
21.4-2. Асимптотическое разложение Стирлинга
для Г (z) и n! (743).
21.4-3. Логарифмическая производная гамма-функции (743).
21.4-4. Бета-функция (743). 21.4-5. Неполные гамма- и бета-функции (744).
21.5. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены. Многочлены
и числа Бернулли ................................744
21.5-1. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены (744).
21.5-2. Многочлены и числа Бернулли (746).
21.5-3. Формулы, связывающие многочлены Бернулли и факториальные многочлены (747).
21.5-4. Приближенные формулы для (747).
21.6. Эллиптические функции, эллиптические интегралы и связанные с ними функции...........748
21.6-1. Эллиптические функции; общие свойства (748).
21.6-2. -функция Вейерштрасса (748). 21.6-3. (- и (-функции Вейерштрасса (750).
21.6-4. Эллиптические интегралы (751).
21.6-5. Приведение эллиптических интегралов (751).
21.6-6. Нормальные эллиптические интегралы Лежандра (753).
21.6-7. Эллиптические функции Якоби (761).
21.6-8. Тэта-функции Якоби (765).
21.6-9. Соотношения между эллиптическими функциями Якоби, Вейерштрасса и тэта-функциями (767).
21.7. Ортогональные многочлены...........................767
21.7-1. Введение (767).
21.7-2. Действительные нули ортогональных многочленов (768).
21.7-3. Функции Лежандра (768).
21.7-4. Многочлены Чебышева первого и второго рода (768).
21.7-5. Обобщенные многочлены и присоединенные функции Лагерра (774).
21.7-6. Функции Эрмита (775). 21.7-7. Некоторые интегральные формулы(776).
21.7-8. Многочлены Якоби и Гегенбауэра (776).
21.8. Цилиндрические функции, присоединенные функции Лежандра и сферические гармоники...777
21.8-1. Функции Бесселя и другие цилиндрические функции (777).
21.8-2. Интегральные формулы (779).
21.8-3. Нули цилиндрических функций (780).
21.8-4. Функции Бесселя целого порядка (781).
21.8-5. Решение дифференциальных уравнений при помощи функций Бесселя и связанных
с ними функций (782).
21.8-6. Модифицированные функции Бесселя и Ганкеля (782).
21.8-7. Функции bermz, beimz, hermz, heimz, kermz, keimz (783).
21.8-8. Сферические функции Бесселя (784).
21.8-9. Асимптотические разложения цилиндрических функций и сферических функций Бесселя для больших значений ¦z¦ (785).
21.8-10. Присоединенные функции и многочлены Лежандра (785).
21.8-11. Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра (787).
21.8-12. Сферические гармоники. Ортогональность (737).
21.8-13. Теоремы сложения (789).
21.9. Ступенчатые функции и символические импульсные функции ....... 790
21.9-1. Ступенчатые функции (790).
21.9-2. Символическая дельта-функция Дирака (792).
21.9-3. Производные ступенчатых и импульсных функций (793).
21.9-4. Аппроксимация импульсных функций (794).
21.9-5. Представления интегралом Фурье (795).
21.9-6. Асимметричные импульсные функции (795).
21.9-7. Многомерные дельта-функции (795).
Литература .......................................796
Указатель важнейших обозначений..........................801
Предметный указатель................................. 804
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
Глава 1
1.10-1. Правильные многоугольники .........................47
1.10-2. Тела вращения................................. 48
1.10-3. Пять правильных многогранников......................49
1.11-1. Решение плоских треугольников.......................50
1.12-1. Решение сферических треугольников.....................54
Глава 2
2.4-1. Классификация кривых второго порядка...................65
2.4-2. Касательные, нормали, поляры и полюсы кривых второго порядка ...68
2.5-1. Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения и основные формулы..72
Глава 3
3.5-1. Классификация поверхностей второго порядка...............90
3.5-2. Стандартные(канонические) уравнения и основные свойства невырожденных поверхностей второго порядка....................94
Глава 4
4.5-1. Производные часто встречающихся функций.................108
4.5-2. Правила дифференцирования.........................111
4.6-1. Свойства интегралов..............................114
4.7-1. Некоторые часто встречающиеся пределы..................130
4.8-1. Суммы некоторых числовых рядов......................135
4.10-1. Действия со степенными рядами.......................144
4.11-1. Коэффициенты Фурье и среднеквадратические значения периодических
функций.....................................151
4.11-2. Свойства преобразования Фурье .......................154
4.11-3. Преобразования Фурье.............................155
4.11-4. Косинус-преобразования Фурье........................158
4.11-5. Синус-преобразования Фурье.........................159
Глава 5
5.2-1. Свойства скалярного произведения......................164
5.2-2. Свойства векторного произведения......................165
5.3-1. Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента......167
5.5-1. Правила действий с оператором (......................172
5.5-2. Операции над скалярными функциями....................174
5.5-3. Операции над векторными функциями....................174
5.6-1. Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы......175
Глава б
6.3-1. Соотношения между базисными векторами и координатами векторов в различных локальных системах отсчета.....................181
6.4-1. Векторные соотношения в ортогональных координатах...........184
6.5-1. Векторные формулы в сферических и цилиндрических координатах..................186
6.5-2. Общие эллипсоидальные координаты (, (, (...189
6.5-3. Координаты (, (, ( вытянутого эллипсоида вращения.. 190
6.5-4. Координаты (, (, ( сплюснутого эллипсоида вращения..........191
6.5-5. Координаты (, (, z эллиптического цилиндра................191
6.5-6. Конические координаты u, v, w........................192
6.5-7. Параболоидальные координаты (, (, (....................192
6.5-8. Параболические координаты (, (, (....................193
6.5-9. Координаты (, (, z параболического цилиндра...............193
6.5-10. Бицилиндрические координаты (, (, z....................194
6.5-11. Тороидальные координаты (, (, (......................195
6.5-12. Биполярные координаты (, (, (.......................195
Глава 7
7.2-1. Действительная и мнимая части, нули и особенности для наиболее часто встречающихся функций f(z)=u(х, у)+iv(x, у) комплексного переменного z=х+iy ................................198
7.9-1. Свойства отображения ..............................218
7.9-2. Примеры конформных отображений......................219
7.9-3. Конформные отображения некоторых областей D на единичный круг . . .226
Глава 8
8.3-1. Теоремы соответствия операций над оригиналами и изображениями . . .231
8.4-1. Таблица преобразований Лапласа.......................235
8.4-2. Таблица преобразований Лапласа для рациональных изображений F (s) =D1 (s)/D (s)............242
8.6-1. Некоторые линейные интегральные преобразования, связанные с преобразованием Лапласа.257
8.6-2. Преобразования Ганкеля............................259
8.7-1. Некоторые конечные интегральные преобразования.............261
8.7-2. Соответствие операций при z-преобразовании................264
Глава 9
9.3-1. Функции Грина для линейных краевых задач................274
9.3-2. Дополнительные формулы для гипергеометрических функций.......281
9.3-3. Дополнительные формулы для вырожденных гипергеометрических функций ........................283
Глава 10
10.2-1. Полные интегралы для некоторых специальных типов уравнений с частными производными первого порядка ....304
10.4-1. Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической физики....320
Глава 12
12.5-1. Некоторые пространства числовых последовательностей..........380
12.5-2. Некоторые пространства функций х (t), у (t).................381
12.8-1. Истинностная таблица для булевой функции................389
Глава 13
13.2-1. Некоторые нормы матриц...........................391
Глава 14
14.7-1. Сравнение различных обозначений скаляров, векторов и линейных операторов ..............432
Глава 16
16.2-1. Определения тензорных величин наиболее распространенного типа, основанные на законе преобразования их компонент................497
16.10-1. Дифференциальные инварианты, определенные в римановых пространствах ....................516
Глава 18
18.2-1. Вероятности логически связанных событий.................541
18.3-1. Числовые характеристики одномерных распределений вероятностей ....545
18.7-1. Перестановки и разбиения...........................567
18.7-2. Сочетания и выборки..............................568
18.7-3. Размещения в ячейках или расположения..................568
18.8-1. Вырожденное (причинное) распределение..................571
18.8-2. Гипергеометрическое распределение......................571
18.8-3. Биномиальное распределение.........................572
18.8-4. Распределение Пуассона............................574
18.8-5. Геометрическое распределение.........................574
18.8-6. Распределение Паскаля............................574
18.8-7. Распределение Пойа..............................575
18.8-8. Плотность нормального распределения (стандартизованного)........577
18.8-9. Интеграл вероятностей.............................578
18.8.10. Функция ошибок...............................579
18.8-11. Непрерывные одномерные распределения вероятностей..........580
Глава 19
19.5-1. (2-распределение с m степенями свободы ..................621
19.5-2. t-распределение Стьюдента с m степенями свободы............622
19.5-3. Распределение отношения дисперсий (v2-распределение) и связанные с ним
распределения..................................623
19.5-4.(2-распределение...............................625
19.5-5. t-распределение Стьюдента...........................626
19.5-6. F-распределение (распределение v2)......................627
19.6-1. Некоторые критерии значимости, относящиеся к параметрам (, (2 нормальной совокупности.....633
19.6-2. Доверительные границы для нормальной совокупности...........634
19.6-3. Критерии значимости для сравнения нормальных совокупностей......636
19.8-1. Усредняющие фильтры.............................644
Глава 20
20.2-1. Таблица алгоритма разделенных разностей.................657
20.4-1. Краткая таблица z-преобразований и преобразований Лапласа от ступенчатых функций....673
20.5-1. Интерполяционные формулы с центральными разностями.........678
20.5-2. Коэффициенты интерполяционных формул..................680
20.6-1. Многочлены Чебышева и степени х......................687
20.6-2. Приближения некоторых функций многочленами..............688
20.6-3. Некоторые приближения цилиндрических функций.............690
20.6-4. Приближения многочленами Чебышева....................691
20.6-5. Схема гармонического анализа на 12 ординат................692
20.6-6. Разные приближения..............................694
20.7-1. Квадратурные формулы Ньютона - Котеса, замкнутый тип........697
20.7-2. Абсциссы и веса для квадратурных формул.................699
20.8-1. Некоторые методы Рунге - Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений ..................702
20.8-2. Некоторые методы четвертого порядка типа"предсказание - коррекция" ..." ...........705
Глава 21
21.2-1. Специальные значения тригонометрических функций . . ..........720
21.2-2. Соотношения между тригонометрическими функциями различных аргументов .................722
21.3-1. Интегральный синус Si(х)...........................732
21.3-2. Si(х) и интегральный косинус Ci(x).....................733
21,3-3. Интегральная показательная функция....................734
21.4-1. Гамма-функция Г (x)..............................741
21.5-1. Определение и свойства биномиальных коэффициентов...........745
21.6-1. Преобразование к нормальной форме Лежандра ..............754
21.6-2. Преобразования эллиптических интегралов.................758
21.6-3. Преобразования полных эллиптических интегралов.............759
21.6-4. Полные эллиптические интегралы К и Е..................760
21.6-5. Периоды, нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоби.....762
21.6-6. Специальные значения эллиптических функций Якоби...........763
21.6-7. Изменение переменной на четверть и половину периода..........764
21 6-8. Преобразования первого порядка эллиптических функций Якоби.....766
21.7-1. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита . . .769
21.7-2. Первые ортогональные многочлены......................774