ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие...................................... 7

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

(В. Л. Гончаров)

Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений....11

§ 1. Элементарные функции......................... 11

§ 2. Графические представления. Приёмы точечных построений.. 17

§ 3. Простейшие преобразования графиков............... 25

§ 4. Прямая и обратная функции...................... 32

§ 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы)..34

Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков...... 41

§ 6. Классификация рациональных функций.............. 41

§ 7. Целые положительные степени................... 42

§ 8. Многочлены первой степени (линейные функции)....... 45

§ 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени............. 46

§ 10. Многочлены третьей степени..................... 48

§ 11. Биквадратные многочлены...................... 51

§ 12. Многочлены высших степеней.................... 52

§ 13. Целые отрицательные степени.................... 54

§ 14. Дробные линейные функции..................... 56

§ 15. Дробные функции второй степени.................. 58

§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай)........ 64

§ 17. Алгебраические иррациональные функции............ 66

§ 18. Примеры исследования алгебраических функций........ 68

§ 19. Элементарные трансцендентные функции............. 78

§ 20. Показательная функция........................ 78

§ 21. Функции, связанные с показательной............. 84

§ 22. Логарифмическая функция...................... 88

§ 23. Функции, связанные с логарифмической............. 90

§ 24 Произвольная степенная функция................. 93

§ 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус.......95

§ 26. Простые гармонические колебания................. 101

§ 27. Тригонометрические многочлены.................. 105

§ 28. Многочлены Чебышева........................ 107

§ 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции... 111

§ 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них............. 116

§ 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения ..... 121

§ 32. Обратные тригонометрические функции.............. 128

§ 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство......134

Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций.........140

§ 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности ... 140

§ 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности .............................149

§ 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки .......................153

§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка .... 159

§ 38. Предел последовательности: классическое определение и основные свойства.......165

§ 39. Обобщение понятия предела (пределы в «несобственном смысле») ...173

§ 40. Предел функции на бесконечности................. 176

§ 41. Односторонний предел функции в конечной точке....... 180

§ 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности......... 187

§ 43. Примеры непрерывных функций................... 190

§ 44. Пределы при монотонном изменении. Число е......... 195

Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства непрерывных функций....202

§ 45. Простая сходимость......................... 202

§ 46. Общее понятие функции одной действительной переменной 210

§ 47. Свойства непрерывных функций................... 215

§ 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций......222

§ 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов... 227

§ 50. Доказательство теоремы....................... 232

§ 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества... 237

§ 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции....244

§ 53. Функциональные уравнения и элементарные функции..... 247

Глава V. Общее понятие функции..................... 254

§ 54. Соответствие между множествами................. 254

§ 55. Геометрические образы в многомерных пространствах .... 256

§ 56. Пространственные отображения................... 260

§ 57. Метрические пространства...................... 264

§ 58. Понятие предела в метрическом пространстве ......... 268

§ 59. Топологические пространства.................... 272

§ 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность..... 274

§ 61. Непрерывные отображения и их свойства............ 279

§ 62. Гомеоморфные отображения..................... 282

§ 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей................... 287

ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ

(И.П. Натансон)

Введение........................................ 299

Глава I. Производные............................. 303

§ 1. Производная и дифференциал..................... 303

1. Задачи, приводящие к понятию производной........... 303

2. Определение производной....................... 307

3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные ..........................309

4. Производные простейших элементарных функций........ 312

5. Дифференцирование обратных функций.............. 318

6. Правила комбинирования формул дифференцирования .... 320

7. Дифференциал.............................. 327

8. Производные и дифференциалы высшего порядка....... 333

9. Частные производные и полный дифференциал......... 337

§ 2. Важнейшие теоремы о производных................ 339

10. Теоремы Ферма и Ролля....................... 339

11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя........ 342

12. Формула Тейлора............................ 346

13. Исследования П.Л. Чебышева и С.Н. Бернштейна...... 353

§ 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию

функций .................................. 354

14. Признаки постоянства и монотонности функции........ 354

15. Экстремум функции.......................... 359

16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

на замкнутом промежутке...................... 363

Глава II. Интегралы.............................. 366

§ 4. Неопределённые интегралы...................... 366

17. Основные понятия........................... 366

18. Интегрирование с помощью подстановки............. 369

19. Интегрирование по частям...................... 371

20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций.........................373

§ 5. Определённые интегралы ........................ 377

21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла .. 377

22. Определённый интеграл........................ 380

23. Основные свойства интеграла.................... 385

24. Интеграл, как функция верхнего предела............. 391

25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого...........................393

26. Формула Валлиса............................ 398

27. Приближённое вычисление определённых интегралов..... 400

§ 6. Приложения интегрального исчисления.............. 408

28. Вычисление площадей......................... 408

29. Вычисление объёмов.......................... 411

30. Длина дуги кривой........................... 417

31. Площадь поверхности вращения.................. 418

32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением 420

Глава III. Ряды.................................. 425

§ 7. Ряды с постоянными членами.................... 425

33. Основные понятия........................... 425

34. Простейшие свойства рядов..................... 429

35. Положительные ряды......................... 431

36. Знакочередующиеся ряды....................... 437

37. Абсолютная сходимость........................ 440

38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов ... 441

§ 8. Степенные ряды............................. 447

39. Промежуток сходимости........................ 447

40. Свойства суммы степенного ряда.................. 452

41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов .. 457

42. Разложение арктангенса и вычисление π............. 465

43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды.........................469

44. Биномиальный ряд........................... 472

45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций . 481

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

(В.Л. Гончаров)

§ 1. Рациональные функции........................ 493

§ 2. Пределы. Ряды............................. 496

§ 3. Показательная функция. Синус и косинус............. 500

§ 4. Выражение тригонометрических функций через показательную ..........................504

§ 5. Гиперболические и тригонометрические функции........ 507

§ 6. Логарифм................................. 508

§ 7. Произвольная степень......................... 510

§ 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции . 511

§ 9. Производная............................... 513

§ 10. Интеграл................................. 517

§ 11. Приближение функций многочленами............... 523

§ 12. Первообразная функция........................ 526

§ 13. Интеграл Коши............................. 532

§ 14. Понятие аналитической функции.................. 536

§ 15. Свойства аналитических функций.................. 539

§ 16. Геометрический смысл аналитических функций......... 544

§ 17. Примеры конформных отображений................ 547

Алфавитный указатель......................... 553