ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 6

Глава I. Основные сведения из линейной алгебры 7

§ 1. Матрицы 7

§ 2. Матрицы специального вида 33

§ 3. Аксиомы линейного пространства 41

§ 4. Базис и координаты 45

§ 5. Подпространства 50

§ 6. Линейные операторы 58

§ 7. Каноническая форма Жордана 71

§ 8. Строение инвариантных подпространств 85

§ 9. Ортогональность векторов и подпространств 87

§ 10. Линейные операторы в унитарном пространстве и евклидовом пространстве 94

§ 11. Самосопряженный оператор 99

§ 12. Квадратичные формы 111

§ 13. Понятие предела в линейной алгебре 117

§ 14. Градиент функционала 134

Глава II. Точные методы решения систем линейных уравнений 137

§ 15. Обусловленность матриц 138

§ 16. Метод Гаусса 147

§ 17. Вычисление определителей 157

§ 18. Компактные схемы для решения неоднородной линейной системы 160

§ 19. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители 162

§ 20. Метод квадратных корней 165

§ 21. Обращение матрицы 168

§ 22. Задача исключения 172

§ 23. Исправление элементов обратной матрицы 182

§ 24, Обращение матрицы при помощи разбиения на клетки 184

§ 25. Метод окаймления 187

§ 26. Эскалаторный метод 192

§ 27. Метод Перселла 195

§ 28. Метод пополнения для обращения матрицы 198

Глава III. Итерационные методы решения систем линейных уравнений 204

§ 29. Принципы построения итерационных процессов 204

§ 30. Метод последовательных приближений 207

§ 31. Подготовка системы линейных уравнений к виду, удобному для применения метода последовательных приближений. Метод простой итерации 214

§ 32. Одношаговый циклический процесс 220

§ 33. Метод П.А. Некрасова 226

§ 34. Методы полной релаксации 230

§ 35. Неполная релаксация 232

§ 36. Исследование итерационных методов для систем с квазитрехдиагональными матрицами 237

§ 37. Теорема сходимости 244

§ 38. Управление релаксацией 248

§ 39. Релаксация по длине вектора невязки 253

§ 40. Групповая релаксация 254

Глава IV. Полная проблема собственных значений 257

§ 41. Устойчивость проблемы собственных значений 259

§ 42. Метод А.Н. Крылова 263

§ 43. Определение собственных векторов по методу А. Н. Крылова 271

§ 44. Метод Хессенберга 273

§ 45. Метод Самуэльсона 280

§ 46. Метод А.М. Данилевского 285

§ 47. Метод Леверье и видоизменение Д.К. Фаддеева 295

§ 48. Эскалаторный метод 300

§ 49. Метод интерполяции 308

§ 50. Метод ортогонализации последовательных итераций 314

§ 51. Преобразование симметричной матрицы к трехдиагональному виду посредством вращений 317

§ 52. Уточнение полной проблемы собственных значений 324

Глава V. Частичная проблема собственных значений 328

§ 53. Определение наибольшего по модулю собственного значения матрицы при помощи последовательных итераций 329

§ 54. Ускорение сходимости степенного метода 346

§ 55. Модификации степенного метода 352

§ 56. Применение степенного метода к отысканию нескольких собственных значений 355

§ 57. Ступенчатый степенной метод 358

§ 58. Метод λ-разности 367

§ 59. Метод исчерпывания 370

§ 60. Метод понижения 375

§ 61. Координатная релаксация 378

§ 62. Уточнение отдельного собственного значения и принадлежащего ему собственного вектора 386

Глава VI. Метод минимальных итераций и другие методы, основанные

на идее ортогонализации 392

§ 63. Метод минимальных итераций 392

§ 64. Биортогональный алгоритм 404

§ 65. Метод A-минимальных итераций 416

§ 66. А-биортогональный алгоритм 425

§ 67. Двучленные формулы метода минимальных итераций и

биортогонального алгоритма 427

§ 68. Методы сопряженных направлений и их общие свойства 433

§ 69. Некоторые методы сопряженных направлений 437

Глава VII. Градиентные итерационные методы 455

§ 70. Метод наискорейшего спуска для решения линейных систем 456

§ 71. Градиентный метод с минимальными невязками 465

§ 72. Градиентные методы с неполной релаксацией 466

§ 73. s-шаговые градиентные методы наискорейшего спуска 472

§ 74. Определение алгебраически наибольшего собственного значения

симметричной матрицы и принадлежащего ему собственного вектора

градиентными методами 480

§ 75. Решение частичной проблемы собственных значений с помощью

полиномов Ланцоша 494

§ 76. s-шаговый метод наискорейшего спуска 498

Глава VIII. Итерационные методы для решения полной проблемы собственных значений 508

§ 77. Алгоритм деления и вычитания 508

§ 78. Треугольный степенной метод 524

§ 79. LR-алгоритм 530

§ 80. ΛР-алгоритм 533

§ 81. Итерационные процессы, основанные на применении вращений 536

§ 82. Решение полной проблемы собственных значений при помощи

спектрального анализа последовательных итераций 547

Глава IX. Универсальные алгоритмы 553

§ 83. Общая идея подавления компонент 554

§ 84. Прием Л.А. Люстерника для ускорения сходимости метода

последовательных приближений при решении системы линейных уравнений 557

§ 85. Подавление компонент при помощи полиномов низших степеней 559

§ 86. Различные формы проведения универсальных алгоритмов 563

§ 87. Универсальный алгоритм, наилучший в смысле первого критерия 567

§ 88. Универсальный алгоритм, наилучший в смысле второго критерия 570

§ 89. Прием А.А. Абрамова для ускорения сходимости метода

последовательных приближений при решении систем линейных уравнений 572

§ 90. ВТ-процессы 574

§ 91. Общие трехчленные итерационные процессы 577

§ 92. Универсальный алгоритм Ланцоша 582

§ 93. Универсальные алгоритмы, наилучшие в среднем 586

§ 94. Метод подавления компонент в комплексной области 589

§ 95. Применение конформного отображения к решению линейных систем 591

§ 96. Примеры s-универсальных алгоритмов 599

§ 97. Метод конформного отображения в применении к неподготовленной системе 603

§ 98. Применение идеи подавления компонент к решению частичной проблемы собственных значений 609

§ 99. Применение конформного отображения к решению частичной проблемы собственных значений 610

Заключение 612

Дополнение 615

Литература 617

Дополнительная литература 654