ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие............. 6

Г л а в а 1. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений ........7

§ 1. Общие понятия, примеры ........7

§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка ..9

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип суперпозиции.............34

§ 4. Линейное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами...........36

§ 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами..39

§ 6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.......47

§ 7. Линейные уравнения с правой частью — квазимногочленом..............50

§ 8. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай простых корней........ 59

§ 9. Фазовая плоскость линейной системы.....67

§ 10. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней ...... 71

§11. Операционное исчисление........79

§ 12. Линейные разностные уравнения ...... 84

Глава 2. Основные свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений......88

§ 1. Основная теорема ........... 88

§ 2. Линейные нормированные пространства................ 96

§ 3. Принцип сжатых отображений ....... 99

§ 4. Лемма Адамара............ 106

§ 5. Доказательство основной теоремы. Теорема существования и единственности для уравнений n-го порядка . 108

§ 6. Гладкость решений .......116

§ 7. Зависимость решений от параметров и начальных условий ............... 117

§ 8. Обратные и неявные функции ..... 121

§ 9. Зависимые и независимые функции. Криволинейные координаты............. 129

§ 10. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной........ 140

Глава 3. Линейные уравнения и системы..... 162

§ 1. Теорема существования и единственности .... 162

§ 2. Функции от матриц и однородные линейные системы с постоянными коэффициентами.167

§ 3. Линейная зависимость и независимость функций и вектор-функций. Определитель Вронского..... 177

§ 4. Формула Лиувилля.......... 180

§ 5. Фундаментальные системы решений..... 182

§ 6. Неоднородные линейные системы с переменными коэффициентами ............ 184

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 185

§ 8. Понижение порядка линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.......... 196

§ 9. Нули решений однородных линейных уравнений второго порядка............ 204

§ 10. Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений. Уравнение Бесселя..207

§ 11. Уравнения с периодическими коэффициентами ... 217

§ 12. Дельта-функция и ее применения...... 225

Глава 4. Автономные системы и теория устойчивости .. 240

§ 1. Автономные системы. Общие свойства ...... 240

§ 2. Структура решений автономной системы в окрестности неособой точки........... 247

§ 3. Изменение фазового объема........ 249

§ 4. Производная в силу системы. Первые интегралы .. 256

§ 5. Одномерное движение частицы в потенциальном поле 263

§ 6. Устойчивость. Функция Ляпунова...... 276

§ 7. Устойчивость положения равновесия линейной системы 284

§ 8. Устойчивость по линейному приближению ... 288

§ 9. Двумерные автономные системы (элементы качественной теории)............. 295

Глава 5. Уравнения с частными производными первого порядка............ 304

§ 1. Некоторые задачи, приводящие к уравнениям 1-го порядка с частными производными 304

§ 2. Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений 307

§ 3. Задача Коши для линейных и квазилинейных уравнений ............... 313

§ 4. Линейные и нелинейные волны ....... 319

§ 5. Нелинейные уравнения......... 324

Глава 6. Элементы вариационного исчисления .... 334

§ 1. Функционалы............ 334

§ 2. Функционалы в линейных нормированных пространствах .............. 335

§ 3. Простейшие задачи вариационного исчисления . 339

§ 4. Функционалы, зависящие от высших производных . 346

§ 5. Функционалы, зависящие от вектор-функций. Принцип наименьшего действия в механике…….347

§ 6. Условный экстремум.......... 350

§ 7. Задача Лагранжа........... 353

§ 8. Функционалы от функций многих переменных .. 355

§ 9. Достаточные условия слабого экстремума .... 358

§ 10. Дополнительные сведения из вариационного исчисления 366

§ 11. Принцип максимума Понтрягина...... 374

Глава 7. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений........ 381

§ 1. Эвристические соображения........ 381

§ 2. Основные оценки........... 383

§ 3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента .............. 388

§ 4. Асимптотика решений при больших значениях параметра .............. 398

§ 5. Элементы теории возмущений....... 405

Список литературы ........... 445