ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода.........................12
Из предисловия автора................................14
ЧАСТЬ I
ДИСКРЕТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Глава 1. Исчисление разностей........................17
§ 1.1. Введение и система обозначений..................17
§ 1.2. Разностный оператор.........................19
§ 1.3. Повторные разности..........................21
§ 1.4. Таблицы разностей...........................23
§ 1.5. Факториалы...............................27
§ 1.6. Деление многочленов.........................29
§ 1.7. Числа Стирлинга первого рода...................32
§ 1.8. Числа Стирлинга второго рода...................34
§ 1.9. Пример..................................35
§ 1.10. Альтернативные замечания.....................36
§ 1.11. Общие замечания и справки...................37
Глава 2. Погрешности округления....................37
§ 2.1. Введение................................37
§ 2.2. Область ответа............................38
§ 2.3. Двойная точность..........................39
§ 2.4. Счет со значащими разрядами..................39
§ 2.5. Статистический подход.......................40
§ 2.6. Случайное округление........................41
§ 2.7. Переменная точность........................41
§ 2.8. Оценка шума в таблице......................41
§ 2.9. Теория «младшего значащего разряда».............47
§ 2.10. Теория «старшего значащего разряда»............49
§ 2.11. Анализ распространения ошибки при небольшом вычислении...................................52
§ 2.12. Общие замечания и библиография...............53
Глава 3. Исчисление сумм..........................53
§ 3.1. Введение и система обозначений.................53
§ 3.2. Формулы суммирования......................56
§ 3.3. Суммирование по частям......................58
§ 3.4. Общие замечания..........................59
Глава 4. Вычисление бесконечных рядов................59
§ 4.1. Введение................................59
§ 4.2. Метод Куммера............................61
§ 4.3. Некоторые специальные суммы.................62
§ 4.4. Метод Эйлера.............................62
§ 4.5. Нелинейное преобразование....................66
§ 4.6. Степенные ряды...........................67
§ 4.7. Разложение по специальным функциям.............68
§ 4.8. Интегралы как приближения сумм...............68
§ 4.9. Дигамма-функция...........................69
Глава 5. Уравнения в конечных разностях..............71
§ 5.1. Система обозначений........................71
§ 5.2. Пример разностного уравнения первого порядка.......72
§ 5.3. Пример уравнения второго порядка...............74
§ 5.4. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами........75
§ 5.5. Пример.................................76
Глава 6. Конечные ряды Фурье......................78
§ 6.1. Введение................................78
§ 6.2. Ортогональность на дискретном множестве точек......79
§ 6.3. Точность разложения........................81
§ 6.4. Вычисление коэффициентов....................83
§ 6.5. Метод двенадцати ординат.....................85
§ 6.6. Методы с минимумом умножений................87
§ 6.7. Разложение по косинусам.....................87
§ 6.8. Локальные ряды Фурье.......................88
ЧАСТЬ II
ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ - КЛАССИЧЕСКИЙ
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
Глава 7. Введение в многочленные приближения..........90
§ 7.1. Ориентация..............................90
§ 7.2. Альтернативные формулировки..................92
§ 7.3. Узловые точки, информация....................95
§ 7.4. Класс функций............................96
§ 7.5. Согласие................................97
§ 7.6. Точность................................98
Глава 8. Интерполяция многочленами. Данные с произвольными промежутками....99
§ 8.1. Философия...............................99
§ 8.2. Интерполяционные многочлены..................99
§ 8.3. Метод интерполяции Лагранжа..................103
§ 8.4. Интерполяционная формула Ньютона..............106
§ 8.5. Другая форма для таблицы разделенных разностей.....109
§ 8.6. Погрешность многочленной аппроксимации..........110
§ 8.7. Трудности приближения многочленом..............113
§ 8.8. О выборе узловых точек......................116
Глава 9. Интерполяция многочленами. Равноотстоящие узлы..117
§ 9.1. Формула Ньютона для интерполирования...........117
§ 9.2. Интерполирование в таблицах..................118
§ 9.3. Ромбовидная диаграмма......................119
§ 9.4. Замечания к выведенным формулам...............123
§ 9.5. Смешанные интерполяционные формулы............124
Глава 10. Единый метод нахождения интерполяционных формул 125
§ 10.1. Введение...............................125
§ 10.2. Несколько типичных формул интегрирования........127
§ 10.3. Фиксированные узлы........................132
§ 10.4. Некоторые примеры формул...................135
§ 10.5. Значения функции и производной в фиксированных точках 137
§ 10.6. Свободные узлы; квадратура Гаусса..............139
§ 10.7. Смешанный случай.........................141
§ 10.8. Замечания...............................142
§ 10.9. Линейные ограничения на веса.................144
§ 10.10. Формула Грегори.........................147
§ 10.11. Выводы................................150
Глава 11. О нахождении остаточного члена формулы.......152
§ 11.1. Потребность в остаточном члене..................152
§ 11.2. Порядок остаточного члена....................152
§ 11.3. Функция влияния..........................153
§ 11.4. Случай, когда G (s) имеет постоянный знак.........156
§ 11.5. Случай, когда функция влияния меняет знак........158
§ 11.6. Слабое место в методе рядов Тейлора............160
Глава 12. Формулы для определенных интегралов.........161
§ 12.1. Введение...............................161
§ 12.2. Формулы Ньютона—Котеса....................164
§ 12.3. Использование формулы Грегори................166
§ 12.4. Открытые формулы........................168
§ 12.5. Квадратура Гаусса.........................169
§ 12.6. Формулы интегрирования смешанного гауссового типа..170
§ 12.7. Суммирование рядов........................171
§ 12.8. Эффекты замены переменной..................172
§ 12.9. Интегралы с параметром.....................173
Глава 13. Неопределенные интегралы..................173
§ 13.1. Описание содержания главы и система обозначений...173
§ 13.2. Несколько простых формул для неопределенных интегралов.......................175
§ 13.3. Общий метод............................177
§ 13.4. Ошибка вследствие отбрасывания членов..........178
§ 13.5. Устойчивость.............................181
§ 13.6. Шум округления..........................184
§ 13.7. Итоги.................................186
§ 13.8. Некоторые общие замечания...................187
§ 13.9. Экспериментальная проверка устойчивости.........189
§ 13.10. Пример интеграла свертки, иллюстрирующий идею устойчивости..........................189
Глава 14. Введение в дифференциальные уравнения.......191
§ 14.1. Природа и смысл дифференциальных уравнений......191
§ 14.2. Поле направлений.........................192
§ 14.3. Численное решение.........................193
§ 14.4. Пример................................195
§ 14.5. Устойчивость метода простого прогноза...........197
§ 14.6. Устойчивость коррекции.....................198
§ 14.7. Несколько общих замечаний...................200
§ 14.8. Системы уравнений........................201
Глава 15. Общая теория методов прогноза и коррекции.....202
§ 15.1. Введение...............................202
§ 15.2. Ошибка от отбрасывания членов................204
§ 15.3. Устойчивость.............................205
§ 15.4. Помехи округления.........................209
§ 15.5. Прогноз по трем точкам.....................209
§ 15.6. Прогнозы типа Милна.......................210
§ 15.7. Прогнозы типа Адамса—Башфорта...............212
§ 15.8. Общие замечания о выборе метода..............213
§ 15.9. Выбор прогноза...........................214
§ 15.10. Некоторые формулы.......................215
§ 15.11. Выбор шага и оценка точности................216
§ 15.12. Экспериментальная проверка..................219
Глава 16. Специальные методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений................220
§ 16.1. Введение и общее описание...................220
§ 16.2. Методы Рунге—Кутта.......................221
§ 16.3. Методы для уравнения второго порядка, когда отсутствует y'.........................222
§ 16.4. Линейные уравнения........................224
§ 16.5. Метод, который использует значения у, у' и у"......225
§ 16.6. Случай, когда решение трудно аппроксимировать многочленом........................226
§ 16.7. Краевые задачи...........................229
Глава 17. Метод наименьших квадратов. Теория..........232
§ 17.1. Введение...............................232
§ 17.2. Метод наименьших квадратов..................232
§ 17.3. Другие критерии..........................234
§ 17.4. Ошибки с нормальным распределением............234
§ 17.5. Проведение подходящего многочлена.............237
§ 17.6. Ортогональные функции.....................240
§ 17.7. Общие свойства ортогональных функций..........242
§ 17.8. Неравенство Бесселя и полнота.................244
§ 17.9. Метод наименьших квадратов и коэффициенты Фурье..245
§ 17.10. Ортогональные многочлены...................247
§ 17.11. Классические ортогональные многочлены..........249
§ 17.12. Сравнение метода наименьших квадратов и разложения в степенные ряды.......250
§ 17.13. Метод наименьших квадратов с ограничениями; продолжение примера из § 1.9...251
§ 17.14. Последние замечания о методе наименьших квадратов.252
Глава 18. Метод наименьших квадратов. Практика.........252
§ 18.1. Общие замечания о многочленном случае..........252
§ 18.2. Трехчленное рекуррентное соотношение...........253
§ 18.3. Построение квазиортогональных многочленов........255
§ 18.4. Немногочленный случай......................255
§ 18.5. Нелинейные параметры......................256
Глава 19. Многочлены Чебышева.....................257
§ 19.1. Введение...............................257
§ 19.2. Некоторые тождества.......................259
§ 19.3. Критерий Чебышева........................260
§ 19.4. Экономизация.............................262
§ 19.5. Механизация процесса экономизации.............263
§ 19.6. Смещенные многочлены Чебышева...............265
§ 19.7. τ-процесс Ланцоша.........................266
§ 19.8. Видоизменение τ-метода......................268
§ 19.9. Несколько замечаний о чебышевском приближении....270
§ 19.10. Критерий совпадения моментов................270
Глава 20. Рациональные функции......................272
§ 20.1. Введение...............................272
§ 20.2. Непосредственный подход.....................273
§ 20.3. Чебышевское приближение рациональными функциями..274
§ 20.4. Обратные разности (симметричные)..............275
§ 20.5. Пример................................278
ЧАСТЬ III
НЕМНОГОЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Глава 21. Периодические функции. Аппроксимация Фурье.....280
§ 21.1. Цель этой теории.........................,. 280
§ 21.2. Замена переменных и выбор узлов...............281
§ 21.3. Ряды Фурье; периодические явления.............282
§ 21.4. Интерполяция периодических функций............285
§ 21.5. Интегрирование...........................288
§ 21.6. Метод общего оператора....................290
§ 21.7. Несколько замечаний относительно общего метода....293
Глава 22. Сходимость рядов Фурье.....................294
§ 22.1. Сходимость степенных рядов и рядов Фурье........294
§ 22.2. Функции с простым разрывом..................295
§ 22.3. Функция, имеющая непрерывные производные более высокого порядка.......297
§ 22.4. Улучшение сходимости ряда Фурье..............298
§ 22.5. Спектр мощности..........................299
§ 22.6. Явление Гиббса..........................300
§ 22.7. Сигма-множители Ланцоша....................301
§ 22.8. Сравнение методов сходимости.................303
§ 22.9. Техника дифференцирования по Ланцошу..........304
Глава 23. Непериодические функции. Интеграл Фурье.......305
§ 23.1. Цель главы..............................305
§ 23.2. Обозначения и краткое изложение результатов......306
§ 23.3. Интеграл Фурье...........................310
§ 23.4. Преобразование Фурье некоторых функций.........311
§ 23.5. Функции с ограниченным спектром и теорема выборки.313
§ 23.6. Теорема свертки..........................315
§ 23.7. Эффект конечного суммирования................316
Глава 24. Линейные фильтры. Сглаживание и дифференцирование................317
§ 24.1. Введение...............................317
§ 24.2. Пример простого сглаживающего фильтра...........318
§ 24.3. Пример построения фильтра....................319
§ 24.4. Фильтры вообще...........................320
§ 24.5. Анализ простых формул для дифференцирования......321
§ 24.6. Как избежать вычисления производных?............322
§ 24.7. Метод Филона.............................323
§ 24.8. Заключительные замечания.....................325
Глава 25. Интегралы и дифференциальные уравнения.......326
§ 25.1. Содержание главы.........................326
§ 25.2. Метод передаточной функции для интегрирования.....327
§ 25.3. Общие формулы интегрирования................331
§ 25.4. Дифференциальные уравнения..................332
§ 25.5. Построение фильтров по методу Чебышева.........334
§ 25.6. Некоторые детали метода Чебышева.............336
Глава 26. Экспоненциальная аппроксимация..............340
§ 26.1. Введение...............................340
§ 26.2. О нахождении формул, использующих экспоненты, когда
показатели экспонент известны.................340
§ 26.3. Неизвестные показатели......................342
§ 26.4. Предупреждения..........................343
§ 26.5. Экспоненты и многочлены....................344
§ 26.6. Остаточные члены.........................344
Глава 27. Особенности............................344
§ 27.1. Введение...............................344
§ 27.2. Пример интеграла с особенностью в бесконечности....345
§ 27.3. Особенность в линейном дифференциальном уравнении.346
§ 27.4. Общие замечания..........................349
ЧАСТЬ IV
АЛГОРИТМЫ И ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Глава 28. Нахождение нулей.........................350
§ 28.1. Алгоритмы и эвристические методы..............350
§ 28.2. Метод деления пополам для нахождения корня функции.351
§ 28.3. Линейная интерполяция......................352
§ 28.4. Параболическая интерполяция..................352
§ 28.5. Некоторые общие замечания...................353
§ 28.6. Метод Берстоу для нахождения комплексных корней многочлена.....................355
Глава 29. Системы линейных алгебраических уравнений......359
§ 29.1. Введение................................359
§ 29.2. Метод исключения Гаусса.....................360
§ 29.3. Варианты метода Гаусса......................362
§ 29.4. Метод Гаусса—Зайделя.......................363
§ 29.5. Повышенная точность........................364
§ 29.6. Общие замечания...........................364
Глава 30. Обращение матриц и собственные значения......365
§ 30.1. Введение...............................365
§ 30.2. Обращение матрицы методом исключения по Гауссу...365
§ 30.3. Задача нахождения собственных значений..........366
§ 30.4. Наименьшие собственные значения...............368
§ 30.5. Несколько замечаний.......................368
Глава 31. Некоторые примеры моделирования.............369
§ 31.1. Введение................................369
§ 31.2. Простой пример дискретного моделирования.........370
§ 31.3. Пример моделирования складских операций.........374
§ 31.4. Трехмерные крестики — нолики.................375
§ 31.5. Общие замечания о дискретном моделировании......379
§ 31.6. Непрерывное моделирование...................380
Глава 32. Случайные числа и методы Монте-Карло.........381
§ 32.1. Понятие случайного числа....................381
§ 32.2. Генерирование случайных чисел в машине, работающей в двоичной системе...382
§ 32.3. Генерирование случайных чисел на десятичной машине.386
§ 32.4. Другие распределения.......................386
§ 32.5. Метод Монте-Карло........................388
§ 32.6. Еще одна иллюстрация метода Монте-Карло........389
§ 32.7. Метод жулика............................390
Глава N+1. Искусство вычислять для инженеров и ученых..391
§ N+1.1. Важность вопроса.......................391
§ N+1.2. Что мы собираемся делать с ответом?..........392
§ N+1.3. Что мы знаем?.........................393
§ N+1.4. Обдумывание вычислений..................394
§ N+1.5. Повторение предыдущих шагов..............395
§ N+1.6. Оценка усилий, необходимых для решения задачи..395
§ N+1.7. Изменения первоначального плана.............396
§ N+1.8. Философия............................397
§ N+1.9. Заключительные замечания.................398
Литература.......................................399
(“Численные методы для научных работников и инженеров” Хемминг Р.В. 1972)
Эту книгу Вы можете скачать на www.lubrus.ru