Оглавление
Предисловие переводчика 5
Предисловие к первому изданию 9
Предисловие ко второму изданию 15
Обозначения 17
1 Введение в мир прерывистых непериодических сигналов 19
1.1 Королевство Фурье........................... 20
1.2 Частотно-временной союз....................... 20
1.2.1 Преобразование Фурье с окном................ 21
1.2.2 Вэйвлет-преобразование.................... 23
1.3 Базисы частотно-временных атомов................. 25
1.3.1 Вэйвлет-базисы и наборы фильтров............. 26
1.3.2 Покрытие вэйвлет-пакетов и локальные косинусные базисы 28
1.4 Базисы для чего?............................ 31
1.4.1 Аппроксимация......................... 31
1.4.2 Оценивание............................ 33
1.4.3 Сжатие.............................. 35
1.5 Путеводитель .............................. 36
1.5.1 Наука численного воспроизведения.............. 36
1.5.2 Схема дорог........................... 37
2 Королевство Фурье 39
2.1 Линейная инвариантная во времени фильтрация1......... 39
2.1.1 Импульсный отклик ...................... 40
2.1.2 Передаточные функции.................... 41
2.2 Интегралы Фурье1 ........................... 41
2.2.1 Преобразование Фурье в L1 (R)................ 42
2.2.2 Преобразование Фурье в L2(R)................ 44
2.2.3 Примеры............................. 46
2.3 Свойства1................................. 48
2.3.1 Гладкость и убывание ..................... 48
2.3.2 Принцип неопределенности.................. 49
2.3.3 Полная вариация........................ 52
2.4 Двумерное преобразование Фурье1.................. 57
2.5 Задачи .................................. 59
3 Дискретная революция 62
3.1 Выборка аналоговых сигналов1.................... 62
3.1.1 Теорема выборки Уиттекера.................. 62
3.1.2 Наложение............................ 64
3.1.3 Обобщенные теоремы выборки................ 67
3.2 Дискретные инвариантные во времени фильтры1 ......... 69
3.2.1 Импульсный отклик и передаточная функция....... 69
3.2.2 Ряды Фурье........................... 71
3.3 Конечные сигналы1........................... 75
3.3.1 Циклические свертки...................... 75
3.3.2 Дискретное преобразование Фурье.............. 76
3.3.3 Быстрое преобразование Фурье................ 77
3.3.4 Быстрые свертки........................ 79
3.4 Дискретная обработка изображений1................. 80
3.4.1 Двумерная теорема выборки ................. 80
3.4.2 Дискретная фильтрация изображения............ 81
3.4.3 Циклические свертки и базис Фурье............. 83
3.5 Задачи .................................. 84
4 Время встречается с частотой 87
4.1 Частотно-временные атомы1......................87
4.2 Преобразование Фурье с окном1....................89
4.2.1 Полнота и устойчивость....................92
4.2.2 Выбор окна............................95
4.2.3 Дискретное преобразование Фурье с окном.........97
4.3 Вэйвлет-преобразования1........................98
4.3.1 Вещественные вэйвлеты....................99
4.3.2 Аналитические вэйвлеты....................103
4.3.3 Дискретные вэйвлеты......................109
4.4 Мгновенные частоты2.......................... 111
4.4.1 Хребты преобразования Фурье с окном...........114
4.4.2 Вэйвлет-хребты.........................121
4.5 Квадратичная частотно-временная энергия1 ............126
4.5.1 Распределение Вигнера-Вилля................127
4.5.2 Интерференции и положительность.............132
4.5.3 Класс Коэна...........................136
4.5.4 Вычисления дискретного преобразования Вигнера-Вилля 140
4.6 Задачи ..................................141
5 Каркасы 145
5.1 Теория каркасов2............................145
5.1.1 Определение каркаса и выборка ...............145
5.1.2 Псевдообращение........................147
5.1.3 Обратные каркасные вычисления...............152
5.1.4 Каркасный проектор и уменьшение шума..........155
5.2 Каркасы Фурье с окном2........................158
5.3 Вэйвлет-каркасы2............................163
5.4 Инвариантность относительно сдвига1................166
5.5 Двоичное вэйвлет-преобразование2..................168
5.5.1 Вэйвлет-проектирование....................170
5.5.2 Алгоритм с дырами (algorithme á trous)...........174
5.5.3 Ориентированные вэйвлеты для визуализации.......176
5.6 Задачи ..................................180
6 Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов) 183
6.1 Гладкость Липшица1..........................183
6.1.1 Определение гладкости Липшица и анализ Фурье.....184
6.1.2 Нулевые моменты вэйвлетов..................186
6.1.3 Измерение гладкости с помощью вэйвлетов.........189
6.2 Максимумы модуля вэйвлет-преобразования............196
6.2.1 Выделение особенностей....................197
6.2.2 Восстановление по двоичным максимумам3.........204
6.3 Многомасштабное выделение перепадов2..............209
6.3.1 Вэйвлет-максимумы для изображений2...........210
6.3.2 Быстрые многомасштабные вычисления перепадов3 .... 217
6.4 Мультифракталы2............................220
6.4.1 Фрактальные множества и самоподобие функций.....221
6.4.2 Спектр особенностей3......................224
6.4.3 Фрактальные шумы3......................232
6.5 Задачи..................................237
7 Вэйвлет-базисы 241
7.1 Ортогональные вэйвлет-базисы1 ...................241
7.1.1 Кратномасштабные аппроксимации .............242
7.1.2 Масштабирующая функция..................246
7.1.3 Сопряженные зеркальные фильтры.............249
7.1.4 Где, наконец, появляются ортогональные вэйвлеты.............................257
7.2 Классы вэйвлет-базисов1........................262
7.2.1 Выбор вэйвлета.........................262
7.2.2 Вэйвлеты Шеннона, Мейера и Баттла-Лемарье......267
7.2.3 Вэйвлеты Добеши с компактным носителем.........271
7.3 Вэйвлеты и наборы фильтров1 ....................276
7.3.1 Быстрое ортогональное вэйвлет-преобразование......276
7.3.2 Наборы фильтров точного восстановления.........281
7.3.3 Биортогональные базисы 12(Z)2 ...............284
7.4 Биортогональные вэйвлет-базисы2..................287
7.4.1 Построение биортогональных вэйвлет-базисов.......287
7.4.2 Свойства биортогональных вэйвлетов2............289
7.4.3 Биортогональные вэйвлеты
с компактным носителем2...................291
7.4.4 Улучшенные (лифтинг) вэйвлеты3..............294
7.5 Вэйвлет-базисы на отрезке2......................303
7.5.1 Периодические вэйвлеты....................304
7.5.2 Отраженные вэйвлеты......................307
7.5.3 Граничные вэйвлеты3......................309
7.6 Кратномасштабные интерполяции2..................315
7.6.1 Интерполяция и теоремы выборки..............315
7.6.2 Интерполяционный вэйвлет-базис3..............321
7.7 Сепарабельные вэйвлет-базисы1 ...................326
7.7.1 Сепарабельные кратные масштабирования (мультиразрешения)..............................326
7.7.2 Двумерные вэйвлет-базисы..................329
7.7.3 Быстрое двумерное вэйвлет-преобразование........332
7.7.4 Вэйвлет-базисы при больших измерениях2......... 336
7.8 Задачи ..................................338
8 Вэйвлет-пакеты и локальные косинусные базисы 345
8.1 Вэйвлет-пакеты2.............................345
8.1.1 Дерево вэйвлет-пакета.....................345
8.1.2 Частотно-временная локализация...............351
8.1.3 Частные случаи базисов вэйвлет-пакетов..........357
8.1.4 Наборы фильтров вэйвлет-пакетов..............360
8.2 Вэйвлет-пакеты изображения2.....................363
8.2.1 Квадратное дерево вэйвлет-пакетов.............363
8.2.2 Сепарабельные наборы фильтров...............366
8.3 Блочные преобразования1.......................368
8.3.1 Блочные базисы.........................368
8.3.2 Косинусные базисы.......................370
8.3.3 Дискретные косинусные базисы................373
8.3.4 Быстрые дискретные косинусные преобразования2.....375
8.4 Перекрывающиеся ортогональные преобразования2........377
8.4.1 Перекрывающиеся проекторы.................378
8.4.2 Перекрывающиеся ортогональные базисы..........383
8.4.3 Локальные косинусные базисы................386
8.4.4 Дискретные перекрывающиеся преобразования.......389
8.5 Локальные косинусные деревья2...................393
8.5.1 Двоичное дерево косинусных базисов............393
8.5.2 Дерево дискретных базисов..................395
8.5.3 Косинусное квадратное дерево для изображений......396
8.5.4 Допустимые квадратные деревья...............397
8.6 Задачи ...................................398
9 О задачах аппроксимации 401
9.1 Линейные аппроксимации1.......................401
9.1.1 Погрешность линейной аппроксимации...........402
9.1.2 Линейные аппроксимации Фурье...............403
9.1.3 Линейные кратномасштабные аппроксимации.......407
9.1.4 Аппроксимации Кархунена-Лоэва2 .............410
9.2 Нелинейные аппроксимации1.....................414
9.2.1 Погрешность нелинейной аппроксимации..........414
9.2.2 Адаптивные вэйвлет-решетки.................417
9.2.3 Пространства Бесова3.....................419
9.3 Вэйвлет-аппроксимации изображения1................424
9.4 Адаптивный выбор базиса2 ......................431
9.4.1 Наилучший базис и вогнутость Шура............431
9.4.2 Быстрый поиск лучшего базиса на деревьях........437
9.4.3 Лучшие базисы вэйвлет-пакетов и локальных косинусов . 439
9.5 Аппроксимации с преследованиями3.................444
9.5.1 Преследование базиса......................445
9.5.2 Согласованное преследование.................449
9.5.3 Ортогональное согласованное преследование........455
9.6 Задачи ..................................457
10 Оценки — это аппроксимации 461
10.1 Байес против минимакса2.......................461
10.1.1 Оценка Байеса..........................462
10.1.2 Минимаксная оценка......................469
10.2 Диагональные оценки в базисе2....................473
10.2.1 Диагональная оценка с помощью оракулов.........474
10.2.2 Пороговая оценка........................478
10.2.3 Пороговые уточнения......................483
10.2.4 Пороговая вэйвлет-обработка.................486
10.2.5 Наилучший базис для пороговой обработки.........494
10.3 Минимаксная оптимальность3.....................497
10.3.1 Линейная диагональная минимаксная оценка........497
10.3.2 Ортосимметричные множества................502
10.3.3 Почти минимаксный риск с помощью вэйвлетов......507
10.4 Реставрация3...............................515
10.4.1 Оценка произвольного гауссовского шума..........515
10.4.2 Обратные задачи и обратные свертки............520
10.5 Когерентная оценка3..........................531
10.5.1 Когерентная базисная пороговая обработка.........531
10.5.2 Когерентное согласованное преследование..........535
10.6 Оценка спектра2.............................536
10.6.1 Энергетический спектр.....................538
10.6.2 Поиск приближенного базиса Кархунена-Лоэва3......542
10.6.3 Локально-стационарные процессы3..............545
10.7 Задачи ..................................549
11 Преобразование кодирования 555
11.1 Сжатие сигналов2............................556
11.1.1 Состояние дел..........................556
11.1.2 Сжатие в ортонормированных базисах............557
11.2 Норма искажения квантования2 ...................559
11.2.1 Энтропия кодирования.....................559
11.2.2 Скалярное квантование ....................567
11.3 Сжатие с большим числом бит2....................570
11.3.1 Распределение бит.......................570
11.3.2 Оптимальный базис и базис Кархунена-Лоэва.......573
11.3.3 Прозрачный аудиокод .....................574
11.4 Сжатие изображения2.........................578
11.4.1 Детерминированная норма искажения............579
11.4.2 Вэйвлет-кодирование изображения..............588
11.4.3 Блочное косинусное кодирование изображения........593
11.4.4 Вложенное преобразование кодирования...........597
11.4.5 Минимаксная норма искажения3...............603
11.5 Видеосигналы2 .............................608
11.5.1 Оптический поток........................609
11.5.2 MPEG видеосжатие.......................617
11.6 Задачи ...................................619
Приложение А. Математические дополнения 623
А.1 Функции и интегрирование ......................623
А.2 Пространства Банаха и Гильберта..................624
А.3 Базисы в гильбертовых пространствах................626
А.4 Линейные операторы..........................627
А.5 Сепарабельные пространства и базисы................629
А.6 Случайные векторы и ковариационные операторы.........630
А.7 Дельта-функции Дирака........................632
Приложение В. Программные средства матобеспечения 634
Б.1 WaveLab.................................634
Б.2 LastWave................................638
Б.3 Свободно распространяемые программные вэйвлет-средства ... 640
Список литературы 641
Список дополнительной литературы на русском языке 656
Предметный указатель 658
(“Вэйвлеты в обработке сигналов” С. Малла 2005)
Эту книгу Вы можете скачать на www.librus.ru