ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
Глава I. Линейные пространства 12
§ 1. Аксиомы линейного 12
пространства
§ 2. Примеры линейных 15
пространств
§ 3. Простейшие следствия из 22
аксиом линейного пространства
§ 4. Линейная комбинация. 24
Линейная зависимость
§ 5. Лемма о базисном миноре 27
§ 6. Основная лемма о двух 30
системах векторов
§ 7. Ранг матрицы 32
§ 8. Конечномерные и 34
бесконечномерные пространства.
Базис
§ 9. Линейные операции в 37
координатах
§ 10. Изоморфизм линейных 39
пространств
§ 11. Соответствие между 42
комплексными и
действительными пространствами
§ 12. Линейное подпространство 44
§ 13. Линейная оболочка 47
§ 14. Сумма подпространств. 51
Прямая сумма
Глава П. Линейные 57
преобразования переменных.
Преобразования координат
§ 1. Сокращенная запись 57
суммирования
§ 2. Линейное преобразование 60
переменных. Произведение
линейных преобразований
переменных и произведение
матриц
§ 3. Квадратные матрицы и 64
невырожденные преобразования
§ 4. Ранг произведения матриц 70
§ 5. Преобразование координат 72
при изменении базиса
Глава III. Системы линейных 76
уравнений. Плоскости в аффинном пространстве
§ 1. Аффинное пространство 76
§ 2. Аффинные координаты 78
§ 3. Плоскости 80
§ 4. Системы уравнений Первой 84
степени
§ 5. Однородные системы 89
§ 6. Неоднородные системы 96
§ 7. Взаимное расположение 100
плоскостей
§ 8. Системы линейных 108
неравенств и выпуклые многогранники
Глава IV. Линейные, билинейные 119
и квадратичные формы
§ 1. Линейные формы 119
§ 2. Билинейные формы 124
§ 3. Матрица билинейной формы 128
§ 4. Квадратичные формы 131
§ 5. Приведение квадратичной 134
формы к каноническому виду методом Лагранжа
§ 6. Нормальный вид 137
квадратичной формы
§ 7. Закон инерции квадратичных 138
форм
§ 8. Приведение квадратичной 140
формы к каноническому виду методом Якоби
§ 9. Положительно определенные 143
и отрицательно определенные квадратичные формы
§ 10. Определитель Грама. 146
Неравенство Коши—Буняковского
§ 11. Нулевое подпространство 149
билинейной и квадратичной
формы
§ 12. Нулевой конус квадратичной 152
формы
§ 13. Простейшие примеры 153
нулевых конусов квадратичных
форм
Глава V. Тензорная алгебра 157
§ 1. Взаимные базисы. 157
Контравариантные и
ковариантные векторы
§ 2. Тензорное произведение 166
линейных пространств
§ 3. Базис в тензорном 170
произведении. Координаты тензора
§ 4. Тензоры билинейных форм 176
§ 5. Многовалентные тензоры. 180
Произведение тензоров
§ 6. Координаты многовалентных 184
тензоров
§ 7. Полилинейные формы и их 186
тензоры
§ 8. Симметрирование и 188
альтернирование. Косые формы
§ 9. Второй вариант изложения 192
понятия тензорного произведения
двух линейных пространств
Глава VI. Понятие группы и 199
некоторые его приложения
§ 1. Группы и подгруппы. 199
Распределение базисов на классы по данной подгруппе матриц.
Ориентация
§ 2. Группы преобразований. 206
Изоморфизм и гомоморфизм групп
§ 3. Инварианты. Осевые 212
инварианты. Псевдоинварианты
§ 4. Тензорные величины 219
§ 5. Ориентированный объем 224
параллелепипеда.
Дискриминантный тензор
Глава VII. Линейные 230
преобразования линейных пространств
§ 1. Общие сведения 230
§ 2. Линейное преобразование как 233
тензор
§ 3. Геометрический смысл ранга 237
и определителя линейного преобразования. Группа
невырожденных линейных преобразований
§ 4. Инвариантные 240
подпространства
§ 5; Примеры линейных 242
преобразований
§ 6. Собственные векторы и 249
характеристический многочлен преобразования
§ 7. Основные теоремы о 252
характеристическом многочлене и собственных векторах
§ 8. Нильпотентные 255
преобразования. Общая структура
вырожденных преобразований
§ 9. Канонический базис 259
нильпотентного преобразования
§ 10. Приведение матрицы 270
преобразования к жордановой нормальной форме
§ 11. Преобразования простой 276
структуры
§ 12. Эквивалентность матриц 278
§ 13. Формула Гамильтона—Кэли 281
Глаза VIII. Пространства с 283
квадратичной метрикой
§ 1. Скалярное произведение 283
§ 2. Норма вектора 285
§ 3. Ортонормированные базисы 287
§ 4. Ортогональная проекция. 289
Ортогонализация
§ 5. Метрический изоморфизм 295
§ 6. k-ортогональные матрицы и k- 297
ортогональные группы
§ 7. Группа евклидовых поворотов 301
§ 8. Группа гиперболических 310
поворотов
§ 9. Тензорная алгебра в 320
пространствах с квадратичной метрикой
§ 10. Уравнение гиперплоскости в 328
пространстве с квадратичной метрикой
§ 11. Евклидово пространство. 331
Ортогональные матрицы.
Ортогональная группа
§ 12. Нормальное уравнение 337
гиперплоскости в евклидовом
пространстве
§ 13. Объем параллелепипеда в 339
евклидовом пространстве.
Дискриминантный тензор.
Векторное произведение
Глава IX. Линейные 344
преобразования евклидова пространства
§ 1. Сопряженное преобразование 344
§ 2. Лемма о характеристических 347
корнях симметричной матрицы
§ 3. Самосопряженные 348
преобразования
§ 4. Приведение квадратичной 355
формы к каноническому виду в ортонормированием базисе
§ 5. Совместное приведение к 357
каноническому виду двух квадратичных форм
§ 6. Кососопряженные 361
преобразования
§ 7. Изометричные 364
преобразования
§ 8. Канонический вид 369
изометричного преобразования
§ 9. Движение твердого тела с 375
одной неподвижной точкой
§ 10. Кривизна и кручение 377
пространственной кривой
§ 11. Разложение произвольного 380
линейного преобразования в произведение самосопряженного и изометричного преобразований
§ 12. Приложения к теории 383
упругости. Тензор деформаций и тензор напряжений
Глава X. Поливекторы и внешние 387
формы
§ 1. Альтернация 387
§ 2. Поливекторы. Внешнее 393
произведение
§ 3. Бивекторы 399
§ 4. Простые поливекторы 410
§ 5. Векторное произведение 414
§ 6. Внешние формы и действия 421
над ними
§ 7. Внешние формы и 425
ковариантные поливекторы
§ 8. Внешние формы в трехмерном 433
евклидовом пространстве
Глава XI. Гиперповерхности 438
второго порядка
§ 1. Общее уравнение 438
гиперповерхности второго
порядка
§ 2. Изменение левой части 439
уравнения при переносе начала
координат
§ 3. Изменение левой части 442
уравнения при изменении ортонормированиого базиса
§ 4. Центр гиперповерхности 445
второго порядка
§ 5. Приведение к каноническому 447
виду общего уравнения гиперповерхности второго
порядка в евклидовом пространстве
§ 6. Классификация 451
гиперповерхностей второго порядка в евклидовом пространстве
§ 7. Аффинные преобразования 459
§ 8. Аффинная классификация 464
гиперповерхностей второго порядка
§ 9. Пересечение прямой с 465
гиперповерхностью второго порядка. Асимптотические
направления
§ 10. Сопряженные направления 468
Глава XII. Проективное 472
пространство
§ 1. Однородные координаты в 472
аффинном пространстве. Бесконечно удаленные точки
§ 2. Понятие проективного 476
пространства
§ 3. Связка плоскостей в 487
аффинном пространстве
§ 4. Центральное проектирование 496
§ 5. Проективная эквивалентность 500
фигур
§ 6. Проективная классификация 507
гиперповерхностей второго порядка
§ 7. Пересечение 514
гиперповерхности второго порядка и прямой. Поляры
Приложение. Доказательство 524
теоремы о классификации линейных величин
Литература 528