ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .................................. 6

ГЛАВА I

ПРОСТЕЙШИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

§ 1. Элементарные математические модели ............... 11

1. Фундаментальные законы природы (11).

2. Вариационные принципы (16).

3. Применение аналогий при построении моделей (19).

4. Иерархический подход к получению моделей (21).

5. О нелинейности математических моделей (23).

6. Предварительные выводы (25).

Упражнения (26).

§ 2. Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы 26

1. Траектория всплытия подводной лодки (26).

2. Отклонение заряженной частицы в электронно-лучевой трубке (28).

3. Колебания колец Сатурна (30).

4. Движение шарика, присоединенного к пружине (32).

5. Заключение (33).

Упражнения (34).

§ 3. Вариационные принципы и математические модели ......... 34

1. Общая схема принципа Гамильтона (34).

2. Третий способ получения модели системы «шарик—пружина» (35).

3. Колебания маятника в поле сил тяжести (37).

4. Заключение (39).

Упражнения (40).

§ 4. Пример иерархии моделей....................... 40

1. Различные варианты действия заданной внешней силы (40).

2. Движение точки крепления, пружина на вращающемся стержне (41).

3. Учет сил трения (42).

4. Два типа нелинейных моделей системы «шарик—пружина» (44).

5. Заключение (47).

Упражнения (47).

§ 5. Универсальность математических моделей .............. 48

1. Жидкость в U-образном сосуде (48).

2. Колебательный электрический контур (50).

3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций (50).

4. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости (51).

5. Заключение (52).

Упражнения (52).

§ 6. Некоторые модели простейших нелинейных объектов ........ 53

1. О происхождении нелинейности (53).

2. Три режима в нелинейной модели популяции (53).

3. Влияние сильной нелинейности на процесс колебаний (55).

4. О численных методах (56).

Упражнения (57).

ГЛАВА II ПОЛУЧЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ИЗ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ

§ 1. Сохранение массы вещества ...................... 58

1. Поток частиц в трубе (58).

2. Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод (60).

3. Баланс массы в элементе грунта (61).

4. Замыкание закона сохранения массы (63).

5. О некоторых свойствах уравнения Буссинеска (64).

Упражнения (66).

§ 2. Сохранение энергии .......................... 66

1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи (66).

2. Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений (68).

3. Уравнение баланса тепла (70).

4. Постановка типичных краевых условий для уравнения теплопроводности (72).

5. Об особенностях моделей теплопередачи (74).

Упражнения (76).

§ 3. Сохранение числа частиц ....................... 76

1. Основные понятия теории теплового излучения (76).

2. Уравнение баланса числа фотонов в среде (78).

3. Некоторые свойства уравнения переноса излучения (80).

Упражнения (82).

§ 4. Совместное применение нескольких фундаментальных законов ... 82

1. Предварительные понятия газовой динамики (82).

2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа (83).

3. Уравнения движения газа (84).

4. Уравнение энергии (85).

5. Уравнения газовой динамики в лагранжевых координатах (86).

6. Краевые условия для уравнений газовой динамики (88).

7. Некоторые особенности моделей газовой динамики (90).

Упражнения (92).

ГЛАВА III

МОДЕЛИ ИЗ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ, ИЕРАРХИИ МОДЕЛЕЙ

§ 1. Уравнения движения, вариационные принципы и законы сохранения в механике.......93

1. Уравнения движения механической системы в форме Ньютона (93).

2. Уравнения движения в форме Лагранжа (95).

3. Вариационный принцип Гамильтона (99).

4. Законы сохранения и свойства пространства-времени (101).

Упражнения (105).

§ 2. Модели некоторых механических систем ............... 105

1. Маятник на свободной подвеске (105).

2. Непотенциальные колебания (109).

3. Малые колебания струны (111).

4. Электромеханическая аналогия (115).

Упражнения (117).

§ 3. Уравнение Больцмана и производные от него...... 118

1. Описание совокупности частиц с помощью функции распределения (118).

2. Уравнение Больцмана для функции распределения (120).

3. Распределение Максвелла и H-теорема (121).

4. Уравнения для моментов функции распределения (124).

5. Цепочка гидродинамических моделей газа (130).

Упражнения (135).

ГЛАВА IV

МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ ТРУДНОФОРМАЛИЗУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ

§ 1. Универсальность математических моделей .............. 136

1. Динамика скопления амеб (136).

2. Случайный марковский процесс (140).

3. Примеры аналогий между механическими, термодинамическими и экономическими объектами (146).

Упражнения (150).

§ 2. Некоторые модели финансовых и экономических процессов ..... 150

1. Организация рекламной кампании (150).

2. Взаимозачет долгов предприятий (154).

3. Макромодель равновесия рыночной экономики (160).

4. Макромодель экономического роста (167).

Упражнения (169).

§ 3. Некоторые модели соперничества ................... 170

1. Взаимоотношения в системе «хищник—жертва» (171).

2. Гонка вооружений между двумя странами (173).

3. Боевые действия двух армий (175).

Упражнения (179).

§ 4. Динамика распределения власти в иерархии ............. 180

1. Общая постановка задачи и терминология (180).

2. Механизмы перераспределения власти внутри иерархической структуры (186).

3. Баланс власти в инстанции, условия на ее границах и переход к непрерывной модели (189).

4. Правовая система «власть—общество». Стационарные распределения и выход власти за рамки полномочий (194).

5. Роль основных характеристик системы в феномене превышения (принижения) власти (198).

6. Интерпретация результатов и выводы (199).

Упражнения (201).

ГЛАВА V

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

§ 1. Применение методов подобия...................... 202

1. Анализ размерностей и групповой анализ моделей (202).

2. Автомодельные (самоподобные) процессы (208).

3. Различные режимы распространения возмущений в нелинейных средах (214).

Упражнения (221).

§ 2. Принцип максимума и теоремы сравнения............. 221

1. Формулировка, некоторые следствия (221).

2. Классификация режимов с обострением (226).

3. Расширение «автомодельного метода» (229).

Упражнения (234).

§ 3. Метод осреднения........................... 235

1. Локализованные структуры в нелинейных средах (235).

2. Различные способы осреднения (238).

3. Классификация режимов горения теплопроводной среды (241).

Упражнения (246).

§ 4. О переходе к дискретным моделям................... 246

1. Необходимость численного моделирования, элементарные понятия теории разностных схем (246).

2. Непосредственная формальная аппроксимация (251).

3. Интегро-интерполяционный метод (256).

4. Принцип полной консервативности (259).

5. Построение разностных схем с помощью вариационных принципов (262).

6. Использование иерархического подхода к получению дискретных моделей (265).

Упражнения (269).

ГЛАВА VI

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

§ 1. Задачи технологии и экологии..................... 270

1, Физически «безопасный» ядерный реактор (270).

2. Гидрологический «барьер» против загрязнения грунтовых вод (274).

3. Сложные режимы обтекания тел газом (277).

4. Экологически приемлемые технологии сжигания углеводородных топлив (281).

§ 2. Фундаментальные проблемы естествознания............. 283

1. Нелинейные эффекты в лазерной термоядерной плазме (283).

2. Математическая реставрация Тунгусского феномена (288).

3. Климатические последствия ядерного конфликта (292).

4. Магнитогидродинамическое «динамо» Солнца (296).

§ 3. Вычислительный эксперимент с моделями трудноформализуемых объектов.......299

1. Диссипативные биологические структуры (299).

2. Процессы в переходной экономике (302).

3. Тоталитарные и анархические эволюции распределения власти в иерархиях (306).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .......................... 313

 

(“Математическое моделирование” А.А. Самарский, А.П. Михайлов 2002)

Эту книгу Вы можете скачать на www.librus.ru