ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 7
1. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 13
1.1. Пространство Rn и его топология 13
1.2. Отображения 17
1.3. Вещественный анализ (вещественные функции вещественных переменных) 22
1.4. Теория групп 25
1.5. Линейная алгебра 27
1.6. Алгебра квадратных матриц 30
1.7. Библиография 35
2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И ТЕНЗОРЫ 37
2.1. Определение многообразия 37
2.2. Сфера как многообразие 41
2.3. Другие примеры многообразий 43
2.4. О свойствах многообразий "в целом" 44
2.5. Кривые 45
2.6. Функции на М 46
2.7. Векторы и векторные поля 47
2.8. Базисные векторы и базисные векторные поля 50
2.9. Расслоенные пространства 51
2.10. Примеры расслоенных пространств 53
2.11. Более глубокий взгляд на расслоенные пространства 54
2.12. Векторные поля и интегральные кривые 59
2.13. Экспонента от оператора d/dA 60
2.14. Скобки Ли и некоординатные базисы 61
2.15. Когда базис является координатным 65
2.16. Один-формы 67
2.17. Примеры один-форм 68
2.18. Дельта-функция Дирака 69
2.19. Градиент и наглядное изображение один-форм 71
2.20. Базисные один-формы и компоненты один-форм 73
2.21. Индексные обозначения 75
2.22. Тензоры и тензорные поля 76
2.23. Примеры тензоров 78
2.24. Компоненты тензоров и тензорное произведение 78
2.25. Свертка 79
2.26. Замена базиса 81
2.27. Тензорные операции над компонентами 84
2.28. Функции и скаляры 85
2.29. Метрический тензор в векторном пространстве 86
2.30. Поле метрического тензора на многообразии 90
2.31. Специальная теория относительности. 93
2.32. Библиография 94
3. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛИ И ГРУППЫ ЛИ 96
3.1. Введение как векторное поле отображает многообразие в себя 98
3.2. Действие переноса Ли на функции 97
3.3. Действие переноса Ли на векторные поля 97
3.4. Производные Ли 49
3.5. Производная Ли один-формы 102
3.6. Подмногообразия 103
3.7. Теорема Фробениуса на языке векторных полей 105
3.8. Доказательство теоремы Фробениуса 107
3.9. Пример: генераторы вращений 111
3.10. Инвариантность 112
3.11. Векторные поля Киплинга 114
3.12. Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в динамике частицы 115
3.13. Осевая симметрия 116
3.14. Абстрактные группы Ли 119
3.15. Примеры групп Ли 122
3.16. Алгебры Ли и отвечающие им группы Ли 130
3.17. Реализации и представления 135
3.18. Сферическая симметрия, сферические гармоники и представления группы вращений 138
3.19. Библиография 143
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 144
А. Алгебра и интегральное исчисление форм 144
4.1. Определение объема: геометрическая роль дифференциальных форм 144
4.2. Обозначения и определения, касающиеся антисимметричных тензоров 147
4.3. Дифференциальные формы 149
4.4. Обращение с дифференциальными формами 151
4.5. Ограничение форм 152
4.6. Поля форм 153
4.7 Ориентируемость 153
4.8. Объемы и интегрирование на ориентируемых многообразиях 154
4.9. N-векторы, дуальные величины и символ εij,...,k 158
4.10. Тензорные плотности 162
4.11. Обобщенные символы Кронекера 164
4.12. Определители и εi,j,...,k 166
4.13. Метрический элемент объема 167
В. Дифференциальное исчисление форм и его приложения 168
4.14. Внешняя производная 169
4.15. Обозначения для частных производных 170
4.16. Хорошо знакомые примеры внешнего дифференцирования 171
4.17. Условия интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных 172
4.18. Точные формы 173
4.19. Доказательство локальной точности замкнутых форм 175
4.20. Производные Ли от форм 177
4.21. Производные Ли и внешние производные коммутируют 179
4.22. Теорема Стокса 179
4.23. Теорема Гаусса и определение дивергенции 183
4.24. Краткий экскурс в теорию когомологий 186
4.25. Дифференциальные формы и дифференциальные уравнения 189
4.26. Теорема Фробениуса на языке дифференциальных форм 191
4.27. Доказательство эквивалентности двух вариантов теоремы Фробениуса 195
4.28. Законы сохранения 196
4.29. Векторные сферические гармоники 198
4.30. Библиография 200 5. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 201
A. Термодинамика 201
5.1. Простые системы 201
5.2. Тождества Максвелла и другие математические тождества 202
5.3. Композитные термодинамические системы, теорема Каратеодори 203
B. Гамильтонова механика 206
5.4. Гамильтоновы векторные поля 206
5.5. Канонические преобразования 207
5.6. Соответствие между векторами и один-формами, устанавливаемое формой ω 208
5.7. Скобка Пуассона 208
5.8. Многочастичные системы, симплектические формы 209
5.9. Линейные динамические системы, симплектическое скалярное произведение и сохраняющиеся величины 210
5.10. Уравнения Гамильтона и расслоения 213
C. Электромагнетизм 215
5.11. Уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм 215
5.12. Заряд и топология 218
5.13. Вектор потенциал 220
5.14. Плоские волны простой пример 221
D. Динамика идеальной жидкости 222
5.15. Роль производных Ли 222
5.16. Полная производная по времени 222
5.17. Уравнение движения 224
5.18. Сохранение вихрей 225
E. Космология 227
5.19. Космологический принцип 227
5.20. Алгебра Ли максимальной симметрии 231
5.21. Метрика сферически-симметричного трехмерного пространства 233
5.22. Построение шести векторов Киллинга 236
5.23. Открытая, замкнутая и плоская Вселенные 239
5.24. Библиография 240 6. СВЯЗНОСТИ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И 242
КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ
6.1. Введение 242
6.2. Параллельность на искривленных поверхностях 242
6.3. Ковариантная производная 244
6.4. Компоненты, ковариантные производные базиса 246
6.5. Кручение 248
6.6. Геодезические 250
6.7. Нормальные координаты 251
6.8. Тензор Римана 252
6.9. Геометрическая интерпретация тензора Римана 254
6.10. Плоские пространства 257
6.11. Согласованность связности с объёмом или метрикой 257
6.12. Метрическая связность 259
6.13. Аффинная связность и принцип эквивалентности 260
6.14. Связности и калибровочные теории на примере электромагнетизма 261
6.15. Библиография 265
Приложение. Решения и указания к некоторым упражнениям 267
Литература, добавленная при переводе 291
Именной указатель 292
Предметный указатель 293
Указатель обозначений 293