ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..........................................................9
Глава 1. Введение...............................................11
§ 1.1. Вступление................................................11
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок.............................11
§ 1.3. Функция...................................................14
§ 1.4. Понятие непрерывности функции............................24
§ 1.5. Производная...............................................27
§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл..................33
§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры......36
Глава 2. Действительное число...............................41
§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа.....................41
§ 2.2. Определение неравенства...................................46
§ 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий.....46
§ 2.4. Основные свойства действительных чисел...................49
§ 2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел.
Физические величины ......................................52
§ 2.6. Неравенства для абсолютных величин.......................54
§ 2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества..................55
§ 2.8. Символика математической логики.........................56
Глава 3. Предел последовательности.........................58
§ 3.1. Понятие предела последовательности .......................58
§ 3.2. Арифметические действия с пределами......................62
§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины...........64
§3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности ...................66
§ 3.5. Число е....................................................68
§3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней
множества и сечения во множестве действительных чисел ....69
§3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы…………….71
§ 3.8. Критерий Коши существования предела.....................76
§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел..........77
Глава 4. Предел функции.......................................80
§4.1. Понятие предела функции ..................................80
§ 4.2. Непрерывность функции в точке ............................88
§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция......94
§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке...........................98
§ 4.5. Обратная функция.........................................101
§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции.................104
§ 4.7. Степенная функция хb ......................................109
§ 4.8. Еще о числе е..............................................110
§4.9. 
..................................................111
§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)........112
Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной
переменной......................................................117
§ 5.1. Производная...............................................117
§ 5.2. Дифференциал функции....................................121
§ 5.3. Производная функции от функции...........................124
§ 5.4. Производная обратной функции.............................125
§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций ....128
§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка............129
§ 5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный экстремум.........133
§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на интервале. Достаточные критерии локальных экстремумов...............................................135
§ 5.9. Формула Тейлора..........................................139
§ 5.10. Формула Тейлора для важнейших элементарных функций ....146
§ 5.11. Ряд Тейлора...............................................151
§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба.................155
§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке..............................157
§ 5.14. Раскрытие неопределенностей..............................159
§ 5.15. Асимптота.................................................163
§ 5.16. Схема построения графика функции.........................166
§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ...........170
Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой..........172
§ 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество................172
§ 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным произведением.........173
§ 6.3. Линейное нормированное пространство .....................176
§ 6.4. Вектор-функция в n-мерном евклидовом пространстве .......177
§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая.......................179
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции.........183
§ 6.7. Длина дуги кривой.........................................184
§ 6.8. Касательная...............................................187
§ 6.9. Основной триэдр кривой ...................................188
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость ...............................191
§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой........................192
§ 6.12. Эволюта...................................................194
§ 6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты.........................196
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ......................200
§ 7.1. Открытое множество.......................................200
§ 7.2. Предел функции............................................202
§ 7.3. Непрерывная функция......................................206
§ 7.4. Частные производные и производная по направлению ........210
§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость ........211
§ 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент...........215
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования..............220
§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка ....222
§ 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса ..........................226
§ 7.10. Замкнутые и открытые множества..........................227
§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций
на замкнутом ограниченном множестве......................229
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля.......233
§7.13. Формула Тейлора..........................................234
§ 7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции...............237
§ 7.15. Теоремы существования неявной функции...................241
§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений.........247
§ 7.17. Отображения..............................................251
§7.18. Гладкая поверхность .......................................255
§ 7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация ...........257
§ 7.20. Локальный относительный экстремум.......................259
§ 7.21. Замена переменных в частных производных..................267
§ 7.22. Система зависимых функций................................270
Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов 272
§ 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям....................272
§ 8.2. Комплексные числа........................................278
§ 8.3. Комплексные функции......................................283
§ 8.4. Многочлены...............................................285
§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби ....288
§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей......................293
§ 8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей........294
§ 8.8. Подстановки Эйлера.......................................295
§ 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.........297
§ 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений............298
§ 8.11. Тригонометрические подстановки...........................301
§ 8.12. Несколько важных интегралов, не выражаемых в элементарных функциях..............302
Глава 9. Определенный интеграл Римана......................303
§ 9.1. Вступление................................................303
§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции....................304
§ 9.3. Суммы Дарбу..............................................305
§ 9.4. Основная теорема..........................................306
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на [а, b] 309
§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла...............310
§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем............................312
§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница ...............314
§ 9.9. Вторая теорема о среднем..................................318
§ 9.10. Видоизменение функции....................................318
§ 9.11. Несобственные интегралы..................................319
§ 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций......323
§ 9.13. Интегрирование по частям .................................325
§ 9.14. Несобственный интеграл и ряд..............................327
§9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках 330
§ 9.16. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме.........331
§ 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга.............................332
Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближенные методы.......................................................333
§ 10.1. Площадь в полярных координатах...........................333
§ 10.2. Объем тела вращения......................................334
§ 10.3. Длина дуги гладкой кривой.................................335
§ 10.4. Площадь поверхности тела вращения........................337
§ 10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа....................339
§ 10.6. Квадратурные формулы прямоугольников...................340
§ 10.7. Формула Симпсона.........................................341
Глава 11. Ряды....................................................343
§ 11.1. Понятие ряда..............................................343
§ 11.2. Действия с рядами.........................................345
§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами..........................346
§ 11.4. Ряд Лейбница..............................................350
§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды................................350
§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами........354
§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 356
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке ..362
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов ..368
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних арифметических ...371
§ 11.11. Степенные ряды............................................372
§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов......377
§ 11.13. Степенные ряды функций ez, cosz, sinz комплексной переменной ............................380
Глава 12. Кратные интегралы...................................383
§ 12.1. Введение ..................................................383
§ 12.2. Мера Жордана............................................385
§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств......390
§ 12.4. Еще один критерий измеримости множеств. Полярные координаты ..................392
§ 12.5. Другие случаи измеримости................................393
§ 12.6. Понятие кратного интеграла................................394
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема ...397
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом множестве.
Другие критерии ..........................403
§ 12.9. Свойства кратных интегралов ..............................404
§ 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным переменным......406
§ 12.11. Непрерывность интеграла по параметру.....................412
§ 12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя..........414
§12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай 415
§ 12.14. Замена переменных в кратном интеграле ....................417
§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14.............................420
§ 12.16. Полярные координаты в плоскости..........................424
§ 12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве.....426
§ 12.18. Гладкая поверхность .......................................428
§ 12.19. Площадь поверхности......................................431
Глава 13. Теория поля. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы................438
§ 13.1. Криволинейный интеграл первого рода......................438
§ 13.2. Криволинейный интеграл второго рода......................439
§ 13.3. Поле потенциала...........................................442
§ 13.4. Ориентация плоской области ...............................450
§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл.......451
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода......................454
§ 13.7. Ориентация поверхностей ..................................457
§ 13.8. Интеграл по ориентированной плоской области..............461
§ 13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность..........463
§ 13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского..............466
§ 13.11. Ротор вектора. Формула Стокса............................472
§ 13.12. Дифференцирование интеграла по параметру................476
§ 13.13. Несобственный интеграл ...................................478
§ 13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла..........485
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области 491
Глава 14. Линейные нормированные пространства. Ортогональные системы...........498
§ 14.1. Пространство С непрерывных функций......................498
§ 14.2. Пространства L' (L) .......................................500
§ 14.3. Пространство L'2 (L2)......................................504
§ 14.4. Пространство L'р(W) (LР(W))..............................507
§ 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве.......507
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением ....................507
§ 14.7. Ортогонализация системы..................................515
§ 14.8. Полнота системы функций в С, L'2 (L2) и L' (L) ...........517
Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами 519
§ 15.1. Предварительные сведения .................................519
§ 15.2. Сумма Дирихле............................................525
§ 15.3. Формулы для остатка ряда Фурье...........................527
§ 15.4. Теоремы об осцилляции....................................530
§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометрической системы функций.......................................534
§ 15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье......................541
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье..........544
§ 15.8. Оценка остатка ряда Фурье.................................546
§ 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева........548
§ 15.10. Теорема Вейерштрасса.....................................549
§ 15.11. Многочлены Лежандра.....................................550
Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции.............553
§ 16.1. Понятие интеграла Фурье ..................................553
§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его функции............556
§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус-
и синус-преобразования Фурье..............................558
§ 16.4. Производная преобразования Фурье.........................562
§ 16.5. Обобщенные функции в смысле D...........................563
§ 16.6. Пространство S............................................570
§ 16.7. Пространство S' обобщенных функций......................574
Предметный указатель..................................................583