ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому изданию...................... 20

Предисловие Луи де Бройля.......................... 21

Введение................................... 23

Глава I. Функции комплексной переменной ................ 24

1.1. Комплексные величины........................ 24

1.1.1. Определения ......................... 24

1.1.2. Сложение .......................... 25

1.1.3. Умножение .......................... 25

1.1.4. Замена обозначений...................... 26

1.1.5. Сопряженные комплексные числа ...............27

1.1.6. Степень комплексного числа.................. 27

1.1.7. Корни из комплексного числа................. 28

1.1.8. Корни из единицы ......................28

.1.9: Ряды с комплексными членами.................. 29

1.1.10. Степенные ряды....................... 29

1.1.11. Экспоненциальная функция и логарифм ........... 30

1.1.12. Дифференцирование и интегрирование по аргументу ..... 31

1.1.13. Суммирование тригонометрических функций, аргументы которых составляют арифметическую прогрессию ........... 31

1.2. Применение комплексных величин при расчете электрических цепей

в синусоидальном режиме...................... 31

1.2.1. Введение........................... 31

1.2.2. Графическое изображение синусоидальной функции...... 32

1.2.3. Представление с помощью комплексных чисел.........33

1.2.4. Ограничения метода................. .... 34

1.2.5. Понятие комплексного полного сопротивления......... 35

1.2.6. Комплексное полное сопротивление при последовательном и параллельном соединении.................... 36

1.2.7. Законы Кирхгофа ....................... 37

1.2.8. Обобщение понятия комплексного полного сопротивления ... 38

1.2.9. Комплексный вектор...................... 41

1.3. Понятие о функции комплексной переменной............ 42

1.3.1. Непрерывность ....................... 42

1.3.2. Однозначные функции..................... 42

1.3.3. Аналитическая функция................... 43

1.3.4. Голоморфная функция..................... 44

1.3.5. Криволинейный интеграл от функции комплексной переменной. 44

1.3.6. Теорема Коши........................ 45

1.3.7. Формула Коши........................ 46

1.3.8. Ряд Тейлора.......................... 47

1.3.9. Особые точки......................... .48

1.3.10. Разложение в ряд Лорана.................. 48

Интегрирование по методу вычетов................. 50

1.3.11. Теорема о вычетах ..................... 50

1.3.12. Вычисление вычетов..................... 50

1.3.13. Вычисление вычетов относительно кратных полюсов с помощью производных ..... 52

1.3.14. Лемма Жордана ....................... 53

1.3.15. Применение леммы Жордана к единичной функции...... 54

1.3.16. Интегрирование при наличии точки разветвления....... 55

1.3.17. Контур Бромвича....................... 56

1.3.18. Интеграл Бромвича — Вагнера................. 57

1.3.19. Эквивалентный контур .................... 57

1.3.20. Теорема о числе полюсов и числе нулей............ 60

Применение теоремы о вычетах к вычислению некоторых определенных интегралов......... 61

1.3.21. Интегралы вида.............. 61

1.3.22. Интегралы вида................. 62

1.3.23. Интегралы вида .... 63

1.3.24. Интегралы вида................. 64

1.3.25. Применение теоремы о вычетах к суммированию некоторых

рядов ............................ 65

1.4. Конформные отображения...................... 66

1.4.1. Определение ......................... 66

1.4.2. Несколько примеров конформных отображений......... 71

1.4.3. Последовательные отображения ................ 76

1.4.4. Отображение Шварца..................... 77

1.4.5. Различные применения конформных отображений ....... 83

Литература к главе I........................ 84

Глава II. Ряд Фурье. Интеграл Фурье.................... 85

2.1. Ряд Фурье............................. 85

2.1.0. Введение ........................... 85

2.1.1. Вычисление коэффициентов .................. 85

2.1.2. Разложение в ряд по ортогональным функциям........ 86

2.1.3. Частные случаи ........................ 87

2.1.4. Интегрирование и дифференцирование ............. 88

2.1.5. Случай, когда разложение в ряд Фурье ограничено первыми n членами........... 90

2.1.6. Изучение разложения в ряд Фурье вблизи точки разрыва. Явление Гиббса 91

2.1.7. Случай произвольного промежутка............... 93

2.1.8. Ряды с комплексными членами................. 94

2.1.9. Графическое представление. Спектр.............. 94

2.1.10. Среднее значение произведения двух функций одного периода, разложимых в ряд Фурье.................. 96

2.1.11. Распространение ряда Фурье на почти периодические функции 97

2.2. Интеграл Фурье........................... 98

2.2.1. Вещественная форма интеграла Фурье............. 98

2.2.2. Комплексная форма интеграла Фурье............. 100

2.2.3. Применение к электрическим цепям............... 102

2.2.4. Случай незатухающей цепи .................. 104

2.2.5. Спектр частот......................... 105

2.2.6. Единичная функция Хевисайда.................. 109

2.2.7. Пары функций.........................109

2.2.8. Преобразование Фурье.....................110

2.2.9. Физическая реальность интеграла Фурье............113

2.2.10. Изучение диаграмм направленности ..............115

Литература к главе II......................116

Глава III. Векторное исчисление ......................117

3.1. Скалярные величины. Векторные величины. Определения.......117

Скалярные величины.........................117

3.1.1. Чистые скаляры........................117

3.1.2. Псевдоскаляры ........................117

Векторные величины.........................117

3.1.3. Ось ..............................117

3.1.4. Направление вращения.....................118

3.1.5. Прямые и обратные трехгранники...............118

3.1.6. Векторы ...........................118

3.1.7. Положительное направление трех векторов а, b, с.......120

3.1.8. Угол между двумя векторами а и b..............120

Операции над векторами.......................120

3.1.9. Произведение вектора а на скаляр f.............120

3.1.10. Составляющие вектора.....................120

.11. Сложение векторов......................120

.12. Скалярное произведение....................121

.13. Векторное произведение ....................122

.14: Смешанное произведение трех векторов............123

.15. Двойное векторное произведение трех векторов........124

3.2. Дифференциальные операции с векторами.............124

Дифференцирование .........................124

3.2.1. Производная вектора. Производная точки...........124

3.2.2. Производная вектора по другому вектору...........125

3.2.3. Основные формулы дифференцирования.............125

3.2.4. Интеграл от вектора.................... 126

Функции точек............................126

3.2.5. Градиент ...........................127

3.2.6. Нормальная производная....................127

3.2.7. Поверхности уровня......................128

3.2.8. Смысл вектора gradf..................... 128

3.2.9. Силовые линии........................128

3.2.10. Градиент сложной скалярной функции............. 129

3.2.11. Дивергенция и вихрь......................129

3.2.12. Оператор Лапласа..................... 130

3.2.13. Символический вектор набла (оператор Гамильтона) .....130

3.2.14. Наиболее употребительные формулы.............132

3.2.15. Смысл вектора rota .....................134

3.2.16. Скалярный потенциал.....................134

3.2.17. Частный случай: вектор проходит через фиксированную точку . 136

3.2.18. Векторный потенциал . . ...................137

3.2.19. Общий случай векторного поля................139

3.3. Векторные интегралы....................... 139

3.3.1. Циркуляция вектора......................139

3.3.2. Поток вектора.........................140

Основные формулы..........................140

3.3.3. Теорема Остроградского....................140

3.3.4. Смысл скаляра diva......................142

3.3.5. Формула для градиента................... 143

3.3.6. Формула для вихря......................143

3.3.7. Инвариантность градиента, дивергенции, вихря .........144

3.3.8. Формула Грина........................ 144

3.3.9. Формула Стокса........................145

Приложение векторного исчисления к теории электромагнитного поля 147

3.3.10. Электростатическое поле .................. 147

3.3.11. Магнитное поле постоянных токов.............. 149

3.3.12. Электромагнитное поле....................150

3.3.13. Закон Фарадея .......................150

3.3.14. Закон Ампера ........................150

3.3.15. Уравнения Максвелла.....................151

3.3.16. Векторный потенциал магнитного поля, возбужденного током . 151

Системы ортогональных криволинейных координат .........153

3.4.1. Определение .........................153

3.4.2. Дифференциальные операторы в ортогональных криволинейных координатах .. 157

Важнейшие системы ортогональных криволинейных координат в пространстве .............158

3.4.3. Система цилиндрических координат..............158

3.4.4. Система сферических координат................159

3.4.5. Система параболических цилиндрических координат ......160

3.4.6. Система параболических координат вращения (параболоидальные координаты) ......160

3.4.7. Система эллиптических цилиндрических координат.......161

3.4.8. Система вытянутых эллипсоидальных координат (вращения) . . . 162

3.4.9. Система сплюснутых эллипсоидальных координат (вращения) . . 163

3.4.10. Система бицилиндрических координат.............164

3.4.11. Системы тороидальных и бисферических координат......165

3.4.12. Система софокусных поверхностей второго порядка (система общих эллипсоидальных координат).............167

3.4.13. Приложение к уравнениям Максвелла. Уравнения Максвелла в ортогональных криволинейных координатах..........168

Литература к главе III.......................169

Глава IV. Матричное исчисление.......................170

Алгебра матриц...........................170

4.1.1. Плоское преобразование, понятие оператора..........170

4.1.2. Сумма двух операторов ....................171

4.1.3. Произведение двух операторов.................171

4.1.4. Представление плоских преобразований с помощью матриц ... 171

4.1.5. Произведение двух матриц...................172

4.1.6. Представление вектора посредством матрицы..........173

4.1.7. Обобщение на “-мерное пространство.............173

4.1.8. Равенство двух матриц.....................174

4.1.9. Сложение двух матриц....................174

4.1.10. Умножение матрицы на число.................174

4.1.11. Умножение матриц ......................174

4.1.12. Симметричные матрицы....................176

4.1.13. Кососимметричные матрицы..................176

4.1.14. Диагональные матрицы....................177

4.1.15. Единичная матрица. Нулевая матрица.............177

4.1.16. Порядок, ранг матрицы...................177

4.1.17. Необходимые условия равенства нулю произведения двух матриц ....................178

4.1.18. Транспонированная матрица..................179

4.1.19. Обратная матрица .......................180

4.1.20. Применение матричного исчисления к решению системы линейных уравнений .183

4.1.21. Преобразование системы координат ..............185

4.1.22. Ортогональное преобразование................186

4.1.23. Пример ортогональных преобразований. Поворот........187

Обобщение на комплексное пространство..............187

4.1.24. Эрмитова матрица.......................187

4.1.25. Эрмитово-сопряженная матрица ...............187

4.1.26. Модуль и скалярное произведение в комплексном пространстве 188

4.1.27. Ортогональное преобразование комплексного пространства (унитарное преобразование) ................... 189

4.1.28. Собственные значения, собственные векторы и характеристическое уравнение матрицы...................189

4.1.29. Свойства характеристического уравнения...........190

4.1.30. Матрица, отнесенная к собственным направлениям......191

4.1.31. Условия коммутативности двух матриц............192

4.1.32. Собственные значения и собственные направления эрмитовой матрицы............192

Функции от матриц.........................193

4.1.33. Степень матрицы.......................193

4.1.34. Теорема Кели—Гамильтона .................194

4.1.35. Функции от матриц. Теорема Сильвестра...........194

4.1.36. Формула Бэкера....................... 196

4.1.37. Высокие степени матрицы...................198

4.1.38. Дробная степень матрицы..................198

4.1.39. Приближенное вычисление собственных значений матрицы ... 199

4.1.40. Приближенное вычисление корней уравнения n-й степени ... 203

Дифференциальные операции над матрицами. Применение к решению дифференциальных уравнений.....................205

4.1.41. Дифференцирование и интегрирование матрицы........205

4.1.42. Решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка......................... 206

4.1.43. Система дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами..................207

4.1.44. Случай линейного дифференциального уравнения n-го порядка 209

4.2. Применение матричного исчисления. Изучение четырехполюсников . . 210

4.2.1. Определение......................... 210

4.2.2. Соединение четырехполюсников по цепной схеме........ 212

4.2.3. Параллельное соединение четырехполюсников..........213

4.2.4. Последовательное соединение четырехполюсников........213

4.2.5. Последовательно-параллельное и параллельно-последовательное соединение четырехполюсников.................214

4.2.6. Сопротивления холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника ................216

4.2.7. Пассивные четырехполюсники .................216

4.2.8. Симметричные четырехполюсники................217

Примеры простых четырехполюсников ................217

4.2.9. Четырехполюсник с одним последовательным сопротивлением . . 217

4.2.10. Четырехполюсник с одним параллельным сопротивлением .... 217

4.2.11. Г-образный четырехполюсник .................218

4.2.12. Т-обраэный и П-образный четырехполюсники.........218

4.2.13. Х-образный четырехполюсник (решетчатый фильтр)......219

4.2.14. Трансформатор ........................220

4.2.15. Электронная лампа......................221

4.2.16. Повторное сопротивление четырехполюсника..........224

4.2.17. Случай пассивного четырехполюсника.............225

4.2.18. Цепные фильтры.......................226

4.2.19. Полоса пропускания четырехполюсника............228

4.2.20. Расчет свободных колебаний цепи............... 229

4.2.21. Контуры с периодически меняющимися параметрами ......232

4.2.22. Матрицы в квантовой механике................ 235

Литература к главе IV.......................237

 

Глава V. Тензорное исчисление. Приложения.................238

5.1. Тензорная алгебра..........................238

Аффинное векторное пространство. Метрическое пространство .... 238

5.1.1. Определения .........................238

5.1.2. Преобразование координат................... 239

5.1.3. Ковариантные и контравариантные векторы..........240

5.1.4. Определение тензора......................241

5.1.5. Матричная форма формул преобразования координат.....242

5.1.6. Немой индекс.........................245

5.1.7. Симметрия и антисимметрия ..................245

5.1.8. Псевдоскаляры. Скалярная плотность и скалярная емкость ... 247

5.1.9. Тензорная плотность и тензорная емкость...........248

5.1.10. Антисимметричный тензор второй валентности в трехмерном пространстве ... 249

Операции над тензорами......................250

5.1.11. Сложение двух тензоров...................250

5.1.12. Свертывание тензора.....................250

5.1.13. Умножение тензоров......................251

5.1.14. Свертывание произведения ..................251

5.1.15. Установление типа тензора..................251

5.2. Тензоры в криволинейной системе координат............252

5.2.1. Определение криволинейных координат. Криволинейные оси. Координатная поверхность......................252

5.2.2. Фундаментальный метрический тензор.............254

5.2.3. Преобразование определителя g фундаментального метрического тензора при преобразовании координат ...... ....... 255

5.2.4. Выражение для элемента объема................255

5.2.5. Косоугольная система координат на плоскости.........255

5.2.6. Ортогональные криволинейные координаты в трехмерном пространстве ..........256

5.2.7. Случай произвольных криволинейных координат........257

5.2.8. Контравариантные или ковариантные составляющие компоненты одного и того же вектора........257

5.2.9. Изменение вариантности тензора................258

5.2.10. Смешанный фундаментальный метрический тензор.......258

5.2.11. Случай прямолинейной прямоугольной системы координат ...258

Геометрическое представление контравариантных и ковариантных компонент вектора ......258

5.2.12. Случай прямоугольной косоугольной системы координат ... 258

5.2.13. Случай криволинейных координат...............259

5.2.14. Частный случай ортогональных криволинейных координат ... 261

5.3. Дифференциальные операторы в криволинейных координатах .... 261

5.3.1. Градиент ...........................261

5.3.2. Ротор (вихрь) .........................262

5.3.3. Дивергенция .........................262

5.3.4. Лапласиан (оператор Лапласа)................262

Частный случай ортогональных криволинейных координат ......263

5.3.5. Градиент...........................263

5.3.6. Ротор............................263

5.3.7. Дивергенция .........................263

5.3.8. Лапласиан ..........................264

5.3.9. Тензорная форма уравнений Максвелла.............264

5.4. Применение тензорного исчисления к исследованию электрических цепей ......265

5.4.1. Элементы электрических цепей с сосредоточенными постоянными 265

5.4.2. Метод составления уравнений для цепи наиболее общего вида . 268

5.4.3. Соединение цепей посредством проводников..........277

5.4.4. Соединение цепей посредством магнитопроводов........280

5.4.5. Анализ эквивалентных цепей..................282

5.4.6. Цепи с внешним питанием...................285

5.5. Применение тензорного исчисления к изучению анизотропных сред .. 288

5.5.1. Введение..........................288

5.5.2. Диэлектрические свойства кристалла..............288

5.5.3. Матрицы преобразования для некоторых часто встречающихся систем координат……………………..289

Механические свойства кристалла..................291

5.5.4. Напряжение ..........................291

5.5.5. Деформации .........................292

5.5.6. Тепловое расширение.....................293

5.5.7. Обобщенный закон Гука....................293

5.5.8. Применение шестимерного пространства............ 295

5.5.9. Модуль Юнга.......................... 298

Пьезоэлектричество ........................298

5.5.10. Электрическая поляризация................. . 298

5.5.11. Закон Кюри.........................301

5.5.12. Пьезоэлектрические свойства кварца .............301

5.5.13. Распространение упругих волн в кристаллах.........303

5.5.14. Плоские волны .......................304

Литература к главе V........................305

Глава VI. Методы интегрировании дифференциальных уравнений......306

6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка...........306

6.1.1. Уравнение вида........306

6.1.2. Уравнения с разделяющимисяпеременными..........307

6.1.3. Однородные уравнения.....................308

6.1.4. Уравнение в полных дифференциалах.............309

6.1.5. Линейное уравнение......................310

6.1.6. Уравнение Бернулли......................311

6.1.7. Уравнение Риккати ......................311

6.1.8. Уравнение Лагранжа...................... 311

6.1.9. Уравнение Клеро.......................311

6.1.10. Общий случай ............... 312

6.2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого........313

Случаи понижения порядка уравнения................313

6.2.1. Уравнение не содержит явно функцию у............313

6.2.2. Уравнение не содержит явно независимой переменной х.....313

6.2.3. Уравнение, однородное относительно у, у', ..., у(n).......313

6.2.4. Уравнение, однородное относительно х и dx..........314

6.2.5. Уравнение, однородное относительно х, у, dx, dy, d2y, ..., dny . 314

6.2.6. Общий случай однородного уравнения..............314

Линейное дифференциальное уравнение п-го порядка.........315

6.2.7. Введение ...........................315

6.2.8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) . 315

6.2.9. Уравнение Эйлера.......................317

6.2.10. Интегрирование при помощи степенных рядов........317

6.2.11. Некоторые теоремы о свойствах решений линейного дифференциального уравнения второго порядка ............. 322

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.........................324

6.2.12. Интегрирование однородного дифференциального уравнения.. 325

6.2.13. Случай кратного корня ...................325

6.2.14. Частный интеграл неоднородного уравнения..........326

6.2.15. Случай резонанса......................328

6.2.16. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами......................329

Уравнения с частными производными................330

6.3.1. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами, однородное относительно частных производных...............330

6.3.2. Уравнение с правой частью..................331

6.3.3. Уравнение колебаний струны..................331

6.3.4. Телеграфное уравнение.....................333

6.3.5. Уравнение Лапласа.......................333

6.3.6. Прямоугольная система координат...............335

6.3.7. Система цилиндрических координат..............335

6.3.8. Система сферических координат................337

6.3.9. Система эллиптических и цилиндрических координат......338

6.3.10. Система параболических цилиндрических координат......339

6.3.11. Другие системы координат..................340

6.3.12. Уравнение Пуассона .....................342

6.3.13. Решение уравнений Максвелла методом Бромвича......343

6.3.14. Пример. Электромагнитные колебания в прямоугольной полости 347

Литература к главе VI.......................348

Глава VII. Наиболее употребительные специальные функции.........349

7.01. Асимптотическое разложение..................349

Гиперболические функции......................352

7.1.1. Определения .........................352

7.1.2. Обратные гиперболические функции..............354

7.1.3. Приложение гиперболических функций к расчету длинных линий. Метод Броуна. Абаки Блонделя — Кеннеди...........354

7.1.4. Графики функций shx, chх, thх................355

7.1.5. Таблицы показательной и гиперболической функций......356

Интегральный синус и косинус...................356

7.2.1. Определение .........................356

7.2.2. Разложение в степенной ряд..................357

7.2.3. Разложение в асимптотический ряд..............357

7.2.4. Графики функций Six и Cix..................358

7.2.5. Таблицы функций Six и Cix..................358

7.2.6. Положение экстремумов функций Ciх и Siх ..........360

Функция вероятности ошибок....................360

7.3.1. Определение .........................360

7.3.2. Разложение функции Ф(x) в степенной ряд..........361

7.3.3. Разложение в асимптотический ряд функции 1—Ф(x).....361

7.3.4. Выражение функции 1—Ф(x/2) через интеграл Коши.....362

7.3.5. Таблица функции Ф(х).....................363

7.3.6. График функции Ф(х).....................364

7.3.7. Интегралы Френеля..................... 364

Гамма-функция ..........................365

7.4.1. Определение .........................365

7.4.2. Свойства гамма-функции....................367

7.4.3. Некоторые значения функции Г(z)...............368

7.4.4. Логарифмическая производная гамма-функции......... 368

7.4.5. Представление гамма-функции через интеграл Коши..... 369

7.4.6. Связь между эйлеровыми интегралами первого и второго рода 370

7.4.7. График функции у = Г(x+1).................371

7.4.8. Таблица функции Г(х+1)...................371

7.5. Функции Бесселя..........................372

Функции Бесселя первого и второго рода...............372

7.5.1. Определение функции первого рода...............372

7.5.2. Соотношение между Jn (z) и ./-n (z)..............373

7.5.3. Определение бесселевой функции второго рода.........374

7.5.4. Рекуррентные соотношения...................376

7.5.5. Применение рекуррентных соотношений к вычислению некоторых интегралов .......... 376

7.5.6. Интегралы Ломмеля......................378

7.5.7. Соотношение между двумя функциями, индексы которых отличаются на целое число……………………….379

7.5.8. Применение интегралов Ломмеля к разложению в ряд по бесселевым функциям..........380

7.5.9. Бесселевы функции первого и второго рода с полуцелым индексом …...........381

7.5.10. Применение бесселевых функций к вычислению интегралов Френеля .............382

7.5.11. Случай, когда индекс равен целому числу n =n....... . 383

7.5.12. Представление Jn (z) через определенный интеграл......385

7.5.13. Представление Jn (z) с помощью интеграла Коши.......386

7.5.14. Теорема сложения ......................386

7.5.15. Бесселевы функции третьего рода или функции Ханкеля. Определение...................... 387

7.5.16. Асимптотические разложения ................387

7.5.17. Нахождение численных значений бесселевых функций.....388

7.5.18. Асимптотические выражения для бесселевых функций при больших значениях аргумента.................388

7.5.19. Корни бесселевых функций..................389

7.5.20. Кривые J0(x), J1(x), J2(x).....J5(х).............390

7.5.21. Поверхность z=f(х, n ) =Jn (х)...............390

7.5.22. Кривые J-1/2(х), J-3/2(x).....J-9/2(x).............393

7.5.23. Кривые Y0(х), Y1(х), Y2(х), Y3(х), Y4(x)...........393

7.5.24. Поверхность z=f(х,n )=Yn (х).............. .393

Модифицированные бесселевы функции первого и второго рода ... 393

7.5.25. Модифицированная бесселева функция первого рода......393

7.5.26. Модифицированная бесселева функция второго рода......396

7.5.27. Асимптотические разложения .................396

7.5.28 Рекуррентные формулы....................397

7.5.29. Кривые I0(х), I1(x),..., I11(x)............... 398

7.5.30. Кривые K0(х) и K1(x)....................398

Функции Кельвина..........................398

7.5.31. Функции Кельвина нулевого порядка.............398

7.5.32. Функции Кельвина n -го порядка................401

7.5.33. Представление функций Кельвина через модуль и аргумент..401

7.5.34. Производные функций Кельвина...............401

7.5.35. Графики функций ber(z), bei(z), M0(z), q 0(z).........403

Дифференциальные уравнения, решение которых может быть выражено через решение дифференциального уравнении Бесселя.....403

7.5.36. Основные типы........................403

Некоторые примеры применения бесселевых функций.........405

7.5.37. Колебание однородной тяжелой нити, подвешенной за один конец.............405

7.5.38. Исследование решения волнового уравнения в цилиндрических координатах .... 407

7.5.39. Колебания равномерно натянутой мембраны.........408

7.5.40. Случай круглой мембраны...................408

7.5.41. Собственные электромагнитные колебания резонатора, имеющего форму кругового цилиндра................ 410

7.5.42. Распространение электромагнитной волны внутри бесконечного кругового цилиндра......................413

7.5.43. Случай коаксиального проводника...............415

7.5.44. Скин-эффект переменных токов, проходящих по цилиндрическому проводнику круглого сечения ............... 416

7.5.45. Спектр волны, модулированной по частоте..........418

Таблицы бесселевых функций....................422

7.5.46. Функции J0, J1, Y0, Y1.....................422

7.5.47. Бесселевы функции J2, J3,...,J9................425

7.5.48. Бесселевы функции J10, J11,...,J17...............425

7.5.49. Таблицы первых корней функций Jn(z), J'n(z).........426

7.5.50. Бесселевы функции J1/2, J3/2,..., J13/2..............427

7.5.51. Бесселевы функции J-1/2, J-3/2,..., J-13/2 ..............428

7.5.52. Функции ber, bei, ker, kei и их производные.........428

7.5.53. Функции M0, q 0, M1, q 1....................430

7.6. Функции Лежандра.........................432

7.6.1. Введение ...........................432

7.6.2. Разложения в степенные ряды.................432

7.6.3. Полиномы Лежандра .....................434

7.6.4. Производящая функция полиномов Лежандра..........434

7.6.5. Примеры полиномов Лежандра................436

7.6.6. Представление полиномов Лежандра через определенный интеграл. Формула Лапласа....................436

7.6.7. Рекуррентные формулы.................... 437

7.6.8. Формула Родрига .......................438

7.6.9. Ортогональность полиномов Лежандра.............438

7.6.10. Некоторые значения полиномов Лежандра..........440

7.6.11. Корни полиномов Лежандра.................440

7.6.12. Интеграл Шлефли......................440

7.6.13. Обобщение полиномов Лежандра. Полиномы Гегенбауера ... 441

7.6.14. Функции Лежандра первого рода...............441

7.6.15. Описание поверхности у=Рn (cosq ).............443

7.6.16. Корни функций Лежандра первого рода...........443

7.6.17. Рекуррентные формулы ....................445

7.6.18. Определение функции Лежандра первого рода через интеграл Коши............................446

7.6.19. Функция Лежандра второго рода. Определения........447

7.6.20. Определение функции Лежандра второго рода через интеграл Коши...........................449

7.6.21. Присоединенные функции Лежандра.............450

7.6.22. Присоединенные функции Лежандра для целых положительных индексов ........... 451

7.6.23. Рекуррентные соотношения ................ 454

7.6.24. Ортогональность присоединенных функций Лежандра ... . 455

7.6.25. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра. Приложение присоединенных функций...............456

7.6.26. Сферические гармоники....................457

7.6.27. Графики функций Лежандра первого рода..........458

7.6.28. Графики функций Лежандра второго рода..........458

7.6.29. Таблица значений первых семи полиномов Лежандра......459

7.6.30. Графики нормированных присоединенных функций Лежандра первого рода...460

7.6.31. Приложение функций Лежандра. Решение задачи об электромагнитных колебаниях сферического резонатора ........ 460

7.7. Функции Матье...........................465

7.7.1. Функции Матье первого рода .................465

7.7.2. Ортогональность функции Матье первого рода.........466

7.7.3. Разложение в ряд Фурье...................466

7.7.4. Характеристическое уравнение.................468

7 7.5. Поведение функций cem(z, q), sem(z, q) ............469

7.7.6. Присоединенные функции Матье первого рода.........469

7.7.7. Функции Матье для произвольных а и q............470

7.7.8. Разложение в ряды по бесселевым функциям.........471

7.7.9. Функции Матье второго рода.................472

7.8. Функции Вебера — Эрмита. Полиномы Эрмита............473

7.8.1. Функции Вебера — Эрмита или функции параболического цилиндра .............473

7.8.2. Полиномы Эрмита.......................475

7.8.3. Производящая функция и ортогональность полиномов Эрмита . 476

7.9. Полиномы Чебышева........................478

7.9.1. Определение .........................478

7.9.2. Графики Tn(w ) и Un(w ) ...................480

7.9.3. Основные свойства полиномов Чебышева...........482

7.9.4. Фундаментальное свойство полиномов Чебышева........485

7.9.5. Приложение ......................486

Литература к главе VII ......................488

Глава VIII. Символическое, или операционное, исчисление...........490

8.1. Введение .............................490

8.1.1. Ограничение области применения............490

8.1.2. Расчет установившихся режимов................490

8.1.3. Расчет переходных режимов................. . 491

8.1.4. Единичная ступень...................... 493

8.2. Теория электрических цепей Хевисайда...............493

8.2.1. Определение переходной реакции................493

8.2.2. Вычисление переходной реакции................495

8.3. Операционное исчисление......................498

8.3.1. Преобразование Лапласа. Преобразование Карсона ......498

Правила операционного исчисления................ 500

8.3.2. Сложение ..........................500

8.3.3. Изменение масштаба .....................502

8.3.4. Дифференцирование функции h(t)...............504

8.3.5. Интегрирование функции h(t) .................504

8.3.6. Теорема смещения.......................505

8.3.7. Теорема запаздывания.....................505

8.3.8. Дифференцирование функции F(p)...............505

8.3.9. Интегрирование функции F(p).................506

8.3.10. Теорема свертывания, или теорема Бореля..........506

8.3.11. Различные формулы.....................507

8.3.12. Теорема разложения Хевисайда................509

8.3.13. Приложение теоремы разложения к электрическим цепям. Случай постоянного напряжения.................510

8.3.14. Случай переменного напряжения ...............511

8.3.15. Случай кратных корней....................512

Преобразование некоторых употребительных функций........513

8.3.16. Оригиналы некоторых рациональных функций.........513

8.3.17. Изображения бесселевых функций целого порядка......515

8.3.18. Изображение Int .......................517

8.3.19. Изображение интегральных косинуса и синуса ..........518

8.3.20. Изображение функции ошибок................518

8.3.21. Изображение единичного импульса..............519

Применение формулы обращения...................521

8.3.22. Теорема Меллина — Фурье ..................521

8.3.23. Замечания о применении формулы обращения....... 523

8.3.24. Обобщение теоремы разложения Хевисайда..........527

Изображения разрывных функций. Приложения...........528

8.3.25. Введение ...........................528

8.3.26. Изображения непериодических разрывных функций......528

8.3.27. Изображение периодических разрывных функций.......530

Таблица соответствия........................532

8.3.28. Введение ..........................532

8.3.29. Непрерывные функции....................533

8.3.30. Разрывные функции. График.................538

8.4. Приложения операционного исчисления к электрическим цепям ...543

8.4.1. Колебательные контуры ....................543

8.4.2. Пример применения к системе двух связанных контуров .... 544

8.4.3. Случай, когда цепь не находится в равновесии в начальный момент времени............547

8.4.4. Электрические фильтры ....................548

8.4.5. Фильтр нижних частот....................549

8.4.6. Фильтр верхних частот ....................551

8.4.7. Фильтр нижних частот без искажений.............552

8.4.8. Усилители. Отрицательная обратная связь. Критерий Найквиста 553

8.4.9. Расчет переходных явлений, вызванных

размыканием или замыканием выключателя.…………………………………. 554

Распространение электрических возмущений вдоль линий передач ...557

8.4.10. Общие соображения ....................557

8.4.11. Бесконечная или замкнутая на волновое сопротивление линия . 560

8.4.12. Линия без потерь.......................560

8.4.13. Линия без искажений....................561

8.4.14. Подземный кабель ......................561

8.4.15. Линия с идеальной изоляцией.................562

8.4.16. Общий случай Произвольная линия..............563

8.4.17. Линия передачи конечной длины...............564

8.4.18. Закороченная с одного конца линия с пренебрежимо малыми проводимостью изоляции и индуктивностью (подземный кабель) 564

8.4.19. Линия конечной длины без потерь, замкнутая на сопротивление 566

8.4.20. Сопротивление, сосредоточенное в начале линии.......567

8.4.21. Повреждение на линии....................568

8.5 Математические приложения операционного исчисления.......568

8.5.1. Применение операционного исчисления

к вычислению определенных интегралов.………………………………….. 568

Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений ....................... 570

8.5.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами ...........................570

8.5.3. Линейное дифференциальное уравнение с переменными алгебраическими коэффициентами (метод ван дер Поля)......572

Применение операционного исчисления к решению некоторых интегральных уравнений ........................574

8.5.4. Линейные интегральные уравнения...............574

8.5.5. Нелинейные интегральные уравнения..............576

8.5.6. Интегродифференциальные уравнения .............576

8.5.7. Применение операционного исчисления к исследованию функций 577

8.5.8. Применение операционного исчисления

к разложению в асимптотический ряд........................581

8.6. Некоторые замечания ........................582

8.6.1. Замечания об операционном исчислении Хевисайда......582

8.6.2. Обозначения в операционном исчислении.............584

Литература к главе VIII......................584

Глава IX. Теория вероятностей. Приложения.................585

9.1. Случайная величина........................585

9.1.1. Определение вероятности ...................585

9.1.2. Независимые события. Теорема умножения вероятностей .... 586

9.1.3. Несовместные события. Теорема сложения вероятностей.....586

9.1.4. Формула Стирлинга......................587

Законы распределения случайных величин .............. 589

9.1.5. Дискретные случайные величины................589

9.1.6. Непрерывные случайные величины...............591

9.1.7. Характеристическая функция................. 592

9.1.8. Распределение системы двух случайных величин....... 594

9.1.9. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин............595

Основные законы распределения случайных величии.........596

9.1.10. Биномиальный закон распределения..............596

9.1.11. Характеристическая функция биномиального закона.....597

9.1.12. Формула Лапласа. Нормальный закон распределения (закон

Лапласа — Гаусса) .....................599

9.1.13. Характеристическая функция нормального закона распределения......................602

9.1.14. Теорема Бернулли .....................602

9.1.15. Замечания о переходе от биномиального закона распределения к нормальному......603

9.1.16. Закон распределения Пуассона................604

9.1.17. Характеристическая функция и моменты закона распределения Пуассона ........605

9.1.18. Приложение к задачам автоматической телефонии ......605

9.1.19. Согласование наблюденных данных с теоретическим законом распределения. Разложение в ряд Грама — Шарлье.....612

9.1.20. Частный случай нормального закона распределения...... 614

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов........615

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения .... 615

9.1.22. Способ наименьших квадратов ................617

9.1.23. Линейная комбинация ошибок .. ............. 617

9.1.24. Точность группы измерений...................618

9.1.25. Наивероятнейшее значение меры точности..........619

9.1.26. “Вес” наблюдения ......................620

9.1.27. Критерий ошибочного наблюдения ..............621

9.1.28. Срединная (вероятная) ошибка функции.......... ..621

9.1.29. Эмпирические формулы....................621

9.2. Понятие случайной функции.....................623

9.2.1. Введение понятия случайной функции на конкретном примере .. 623

9.2.2. Функции распределения....................627

Проблема сходимости ........................631

9.2.3. Введение ...........................631

9.2.4. Сходимость в смысле Бернулли................631

9.2.5. Сходимость по вероятности ..................632

9.2.6. Сходимость в среднем квадратическом (сходимость с. к.) .... 633

9.2.7. Почти достоверная сходимость................. 635

Стационарные случайные функции. Изучение постоянных режимов . . 636

9.2.8. Введение...........................636

9.2.9. Изучение моментов второго порядка. Определение......638

Общие свойства стационарных случайных функций второго порядка . 640

9.2.10. Корреляционные функции...................640

9.2.11. Непрерывность. Дифференцируемость .............641

9.2.12. Энергетический спектр ....................644

9.2.13. Передача энергии стационарной линейной системой......650

9.2.14. Недостаточность рассмотрения моментов второго порядка и корреляционной функции ................... 654

Стационарные случайные функции Лапласа — Гаусса. Применение к чисто дробовому эффекту……………………..656

9.2.15. Общие замечания......................656

9.2.16. Связь явлений во времени..................660

9.2.17. Флуктуации в нелинейных системах..............661

9.2.18. Вычисление корреляционной функции на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта постоянного тока . 663

Литература к главе IX.......................665

Глава X. Приближенные и графические вычисления.............666

10.1. Решение численных уравнений...................666

10.1.1. Графическое решение.....................666

10.1.2. Метод Ньютона и метод пропорциональных частей......667

10.1.3. Метод итерации .......................669

10.1.4. Приближенное решение системы двух уравнений.......671

10.2. Решение алгебраических уравнений.................674

10.2.1. Численное решение уравнений третьей и четвертой степени .. 674

10.2.2. Схема Горнера ........................676

10.2.3. Построение Лилла ......................678

10.2.4. Способ Лагранжа ......................679

10.2.5. Метод Лобачевского—Греффе — Данделена .........680

10.3 Приближение функции .......................688

Приближение функции полиномами.................688

10.3.1. Введение ..........................688

10.3.2. Значения аргумента распределены неравномерно. Интерполяционный полином Лагранжа ... .......688

10.3.3. Значения переменной находятся в арифметической прогрессии. Таблица разностей...691

Интерполяционные полиномы ....................693

10.3.4. Интерполяционный полином Ньютона.............693

10.3.5. Интерполяционный полином Стирлинга ............696

10.3.6. Интерполяционный полином Бесселя .............697

10.3.7. Области применения интерполяционных полиномов Ньютона, Бесселя, Стирлинга.... 698

10.3.8. Верхний предел ошибки, совершаемой при применении интерполяционных формул Ньютона, Стирлинга, Бесселя......699

10.3.9 Приближение линейной комбинацией функций, определенной

с помощью критерия наименьших квадратов.........700

10.3.10. Приближение полиномом, определенным с помощью критерия наименьших квадратов....................700

Приближение отрезком ряда Фурье. Задача гармонического анализа . 705

10.3.11. Функция задана аналитически............... 705

10.3.12. Эмпирическая функция....................706

10.3.13. Практические способы вычисления............. 708

10.3.14. Приближение эмпирической функции линейной комбинацией показательных функций ...................711

10.3.15. Приближение функции по Чебышеву ............714

10.3.16. Применение ряда Тейлора.................716

10.4. Численное дифференцирование..................717

10.5. Численное интегрирование .....................719

10.5.1. Числа Бернулли................................................719

10.5.2. Полином Бернулли ......................720

10.5.3. Формула Эйлера.......................722

10.5.4. Формула трапеций........................725

10.5.5. Формула Симпсона ......................726

10.5.6. Формула Уэддля...................... 727

10.5.7. Формула Грегори.......................728

10.5.8. Введение в методы Ньютона — Котеса, Чебышева, Гаусса . . . 730

10.5.9. Метод Ньютона — Котеса...................730

10.5.10. Метод Чебышева ......................732

10.5.11. Метод Гаусса ........................733

10.5.12. Применение интерполяционных полиномов Ньютона.....735

10.5.13. Исключительные случаи ...................737

10.6. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений .... 738

10.6.1. Введение .........................738

10.6.2. Приближенное интегрирование дифференциального уравнения первого порядка....................... 739

10.6.3. Решение с помощью ряда Тейлора..............739

10.6.4. Способ Адамса........................740

10.6.5. Сокращенный вариант....................747

10.6.6. Приближенное интегрирование системы дифференциальных уравнений первого порядка .................. 748

10.6.7. Использование ряда Тейлора.................748

10.6.8. Применение интерполяционного полинома Ньютона с нисходящими разностями.......................749

10.6.9. Способ Пикара ........................750

10.7. Графическое решение дифференциальных уравнений ... ..... 752

10.7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Способ изоклин 752

10.7.2. Графическое решение дифференциальных уравнений второго порядка способом радиусов кривизны ............ 755

10.8. Численное решение уравнений в частных производных...... 757

10.8.1. Плоские задачи........................757

10.8.2. Задачи вращения .......................760

10.9. Номограммы............................762

10.9.1. Введение ..........................762

10.9.2. Определение. Графическая шкала...............762

10.9.3. Номограммы “с выравненными точками............764

10.9.4. Номограммы с тремя параллельными прямолинейными шкалами ............................765

10.9.5. Номограммы с двумя параллельными прямоугольными шкалами и одной криволинейной .................. 767

10.9.6. N-образиая номограмма....................769

10.9.7. Номограмма с двумя криволинейными шкалами и одной прямолинейной ................770

10.9.8. W-образная номограмма...................770

10.9.9. Z-образная номограмма....................771

10.9.10. Номограмма с тремя криволинейными шкалами.......771

10.9.11. Сложные номограммы....................772

Литература к главе X.......................772

Предметный указатель......................773

Указатель обозначений.......................779

 

Хостинг от uCoz