ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие............................. 6

Глава I. Введение в анализ ................... 7

§ 1. Переменные величины и функции, их обозначение 7

§ 2. Область определения (существования) функции ... 12

§ 3. Построение графика функции по точкам...... 14

§ 4. Построение графика функции путем сдвига и деформации известного графика другой функции..... 20

§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции ........ 23

§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах..... 30

§ 7. Вычисление пределов ............... 33

§ 8. Смешанные задачи на нахождение пределов..... 45

§ 9. Сравнение бесконечно малых............ 46

§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции..... .48

Глава II. Производная и дифференциал функции......... 57

§ 1. Производная функции и ее геометрическое значение.

Непосредственное нахождение производной..... 57

§ 2. Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций.............. 60

§ 3. Производная сложной функции........... 63

§ 4. Производные показательных и логарифмических функций...................... 66

§ 5. Производные обратных тригонометрических функций 67

§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование...... 69

§ 7. Логарифмическое дифференцирование........ 71

§ 8. Производные высших порядков........... 73

§ 9. Производные неявной функции........... 75

§ 10. Производные от функции, заданной параметрически 78

§ 11. Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми................... 79

§ 12. Скорость изменения переменной величины. Скорость и ускорение прямолинейного движения....... 85

§ 13. Дифференциал функции .............. 88

§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Касательная к пространственной кривой 90

§ 15. Скорость и ускорение криволинейного движения . . 93

Глава III Исследование функций и построение их графиков .... 95

§ 1. Теорема (формула) Тейлора............. 95

§ 2. Правило Лопиталя и применение его к нахождению предела функции.................. 105

§ 3. Возрастание и убывание функции ......... 110

§ 4. Максимум и минимум (экстремум) функции .... 111

§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции .... 118

§ 6. Задачи о наибольших или наименьших значениях величин ....................... 121

§ 7. Направление выпуклости кривой и точки перегиба 127

§ 8. Асимптоты..................... 130

§ 9. Общая схема исследования функций и построения их графиков......................134

§ 10. Приближенное решение уравнений .........144

§ 11. Кривизна плоской кривой.............149

Глава IV. Неопределенный интеграл........ ......154

§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Основные формулы интегрирования ........154

§ 2. Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые ..........159

§ 3 Интегрирование посредством замены переменной .. 161

§ 4. Интегрирование по частям.............163

§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен......................166

§ 6. Интегрирование тригонометрических функций ... 170

§ 7. Интегрирование рациональных функций ......173

§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций 178

§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных (неалгебраических) функций.........182

§ 10. Смешанные задачи на интегрирование.......183

Глава V. Определенный интеграл................184

§ 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства и связь с неопределенным интегралом ......................184

§ 2. Замена переменной в определенном интеграле . . . 186

§ 3. Схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры 189

§ 4. Объем тела по площадям его параллельных сечений 196

§ 5. Объем тела вращения...............199

§ 6. Длина дуги плоской кривой ...........202

§ 7. Площадь поверхности вращения..........205

§ 8. Физические задачи................209

§ 9. Координаты центра тяжести ...........223

§ 10. Несобственные интегралы.............225

§ 11. Приближенное вычисление определенных интегралов 230

Глава VI. Функции многих переменных.............. 236

§ 1. Функции многих переменных, их обозначение и область определения................236

§ 2. Предел функции многих переменных. Непрерывность 239

§ 3. Частные производные функции многих переменных 241

§ 4. Дифференциалы функции многих переменных . . . 243

§ 5. Дифференцирование сложных функций......246

§ 6. Дифференцирование неявных функций.......118

§ 7. Частные производные высших порядков......249

§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 252

§ 9. Экстремум функции многих переменных......254

§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . 256

Глава VII. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы . . 261

§ 1. Двойной интеграл, его вычисление двукратным интегрированием.................262

§ 2. Двойной интеграл в полярных координатах .... 271

§ 3. Вычисление площади посредством двойного интеграла 274

§ 4. Вычисление объема тела.............277

§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции .... 281

§ 6. Тройной интеграл, его вычисление трехкратным интегрированием ....286

§ 7. Вычисление величин посредством тройного интеграла 293

§ 8. Криволинейные интегралы, их вычисление и условие независимости от линии интегрирования . . . 301

§ 9. Вычисление величин посредством криволинейных интегралов....................307

§ 10. Нахождение функции по ее полному дифференциалу 311

§11. Интегралы по поверхности, их вычисление сведением к двойным интегралам......313

§ 12. Вычисление величин посредством поверхностных интегралов....................322

Глава VIII. Элементы теории поля.................328

§ 1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент .......................328

§ 2. Векторное поле. Поток и дивергенция поля .... 333

§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля.......333

Глава IX. Ряды .........................342

§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами .......................342

§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопеременного ряда. Признак сходимости знакочередующегося ряда....................347

§ 3. Функциональные ряды...............350

§ 4. Ряды Тейлора...................354

§ 5. Действия со степенными рядами. Применение рядов к приближенным вычислениям…………...358

§ 6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами 365

§ 7. Ряды Фурье....................369

§ 8. Интеграл Фурье..................382

Глава X. Дифференциальные уравнения............. 386

§ 1. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы ............... 386

§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными .... 389

§ 3. Однородные уравнения первого порядка.....391

§ 4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.....................393

§ 5. Уравнения в полных дифференциалах.......393

§ 6. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка..................397

§ 7. Линейные однородные уравнения высших порядков

с постоянными коэффициентами..........400

§ 8. Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами .......403

§ 9. Смешанные задачи на интегрирование уравнений разных типов...................411

§ 10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 411

§ 11. Метод Эйлера приближенного интегрирования уравнений первого порядка ...... 425

§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов. . . 427

§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений........ 431

§ 14. Уравнения математической физики........435

Ответы................................443